Dane:

$q_1=10\text{nC}=10\cdot {10}^{-9}\text{C}={10}^{-8}\text{C}$  

$q_2=20\text{nC}\text{, czyli }{q}_2=2q_1$  

$q_3=30\text{nC}\text{, czyli}{q}_3=3q_1$  

$a=1\text{m}$  

Szukane:

$F_1=?$

$F_2=?$  

$F_3=?$   

$F_w=?$  

Rozwiązanie:

Każdy ładunek będzie oddziaływał z każdym. Korzystając z prawa Coulomba wiemy, że:

$F_C=k\cdot \frac{\left|q_1\right|\cdot \left|q_2\right|}{r^2}$  

gdzie $k$  jest współczynnikiem proporcjonalności, $F_C$  jest wartością siły oddziaływania pomiędzy ładunkami $q_1$  i $q_2$  znajdującymi się w odległości $r$  od siebie.

Z tego wynika, że wartość siły działającej pomiędzy pierwszym i drugim ładunkiem wynosi:

$F_{12}=\frac{k{q}_1{q}_2}{a^2}$  

$F_{12}=\frac{k{q}_1\cdot 2q_1}{a^2}$  

$F_{12}=\frac{2k{q}_1^2}{a^2}$  

Siła działająca pomiędzy pierwszym i trzecim ładunkiem wynosi:

$F_{13}=\frac{k{q}_1{q}_3}{a^2}$  

$F_{13}=\frac{k{q}_1\cdot 3q_1}{a^2}$  

$F_{13}=\frac{3k{q}_1^2}{a^2}$  

$F_{13}=\frac{3}{2}\cdot \frac{2k{q}_1^2}{a^2}$  

$F_{13}=1,5\cdot F_{12}$  

Siła działająca pomiędzy drugim i trzecim ładunkiem ma postać:

$F_{23}=\frac{k{q}_2{q}_3}{a^2}$  

$F_{23}=\frac{k\cdot 2q_1\cdot 3q_1}{a^2}$  

$F_{23}=\frac{6k{q}_1^2}{a^2}$  

$F_{23}=\frac{6}{2}\cdot \frac{2k{q}_1^2}{a^2}$  

$F_{23}=3\cdot F_{12}$  

Wykonajmy rysunek przedstawiający sytuację opisaną w zadaniu z zachowaniem proporcji wielkości działających sił:

Korzystając z metody równoległoboku wyznaczmy wypadkowe siły działające na poszczególne ładunki:

Zauważmy, że wypadkowe siły są co do wartości równe dłuższym przekątnym równoległoboków o kącie pomiędzy bokami równym ${60}^{\circ }$ . Wiemy, że jeżeli równoległobok ma boku długości $a$  i $b$  oraz kąt pomiędzy nimi wynosi $\alpha$  to dłuższą przekątną tego równoległoboku możemy przedstawić wzorem:

$d=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos \alpha }$  

Wyznaczmy wartości otrzymanych wypadkowych sił. Pierwsza wypadkowa  $F_1:$  

$F_1=\sqrt{F_{12}^2+F_{13}^2+2\cdot F_{12}\cdot F_{13}\cdot \cos {60}^{\circ }}$  

$F_1=\sqrt{F_{12}^2+{\left(1,5F_{12}\right)}^2+2\cdot F_{12}\cdot 1,5F_{12}\cdot \frac{1}{2}}$  

$F_1=\sqrt{F_{12}^2+2,25F_{12}^2+1,5F_{12}^2}$   

$F_1=\sqrt{4,75\cdot F_{12}^2}$  

$F_1=\sqrt{\frac{475}{100}}{F}_{12}$  

$F_1=\sqrt{\frac{25}{100}\cdot 19}{F}_{12}$  

$F_1=\frac{5}{10}\sqrt{19}{F}_{12}$  

$F_1=0,5\sqrt{19}{F}_{12}$  

Druga wypadkowa  $F_2:$  

$F_2=\sqrt{F_{12}^2+F_{23}^2+2\cdot F_{12}\cdot F_{23}\cdot \cos {60}^{\circ }}$  

$F_2=\sqrt{F_{12}^2+{\left(3F_{12}\right)}^2+2\cdot F_{12}\cdot 3F_{12}\cdot \frac{1}{2}}$  

$F_2=\sqrt{F_{12}^2+9F_{12}^2+3F_{12}^2}$  

$F_2=\sqrt{13F_{12}^2}$  

$F_2=\sqrt{13}{F}_{12}$  

Trzecia wypadkowa  $F_3:$  

$F_3=\sqrt{F_{13}^2+F_{23}^2+2\cdot F_{13}\cdot F_{23}\cdot \cos {60}^{\circ }}$  

$F_3=\sqrt{{\left(1,5F_{12}\right)}^2+{\left(3F_{12}\right)}^2+2\cdot 1,5F_{12}\cdot 3F_{12}\cdot \frac{1}{2}}$  

$F_3=\sqrt{2,25F_{12}^2+9F_{12}^2+4,5F_{12}^2}$  

$F_3=\sqrt{15,75F_{12}^2}$  

$F_3=\sqrt{\frac{1575}{100}}{F}_{12}$  

$F_3=\sqrt{\frac{225}{100}\cdot 7}{F}_{12}$  

$F_3=\frac{15}{10}\sqrt{7}{F}_{12}$  

$F_3=1,5\sqrt{7}{F}_{12}$  

Korzystając z twierdzenia kosinusów wyznaczamy kąt $\alpha$  zawarty pomiędzy wektorami ${\overrightarrow{F}}_1$  i ${\overrightarrow{F}}_{12}$ , kąt $\beta$  zawarty pomiędzy wektorami ${\overrightarrow{F}}_3$  i ${\overrightarrow{F}}_{23}$ :

Kąt  $\alpha :$  

$F_{13}^2=F_{12}^2+F_1^2-2F_{12}{F}_1\cos \alpha$  

$2,25F_{12}^2=F_{12}^2+4,75F_{12}^2-2\cdot F_{12}\cdot 0,5\cdot \sqrt{19}{F}_{12}\cos \alpha$  

$2,25F_{12}^2=5,75F_{12}^2-\sqrt{19}{F}_{12}^2\cos \alpha \mid -5,75F_{12}^2$  

$-\sqrt{19}{F}_{12}^2\cos \alpha =-3,5F_{12}^2\mid :\left(-\sqrt{19}{F}_{12}\right)$  

$\cos \alpha =\frac{3,5}{\sqrt{19}}$  

$\cos \alpha \approx \frac{3,5}{4,36}$  

$\cos \alpha \approx 0,8028$  

$\alpha \approx {37}^{\circ }$  

Kąt  $\beta :$  

$F_3^2+F_{23}^2-2F_3{F}_{23}\cos \beta =F_{13}^2$  

$15,75F_{12}^2+9F_{12}^2-2\cdot 1,5\sqrt{7}{F}_{12}\cdot 3F_{12}\cos \beta =2,25F_{12}^2$  

$24,75F_{12}^2-9\sqrt{7}{F}_{12}^2\cos \beta =2,25F_{12}^2\mid -24,75F_{12}^2$  

$-9\sqrt{7}{F}_{12}^2\cos \beta =-22,5F_{12}^2\mid :\left(-9\sqrt{7}{F}_{12}^2\right)$  

$\cos \beta =\frac{22,5}{9\sqrt{7}}$  

$\cos \beta \approx \frac{22,5}{23,85}$  

$\cos \beta \approx 0,9434$  

$\beta \approx {19}^{\circ }$  

Zaczepimy teraz wektory ${\overrightarrow{F}}_1$  i ${\overrightarrow{F}}_3$  żeby wyznaczyć wypadkowy wektor tych dwóch wektorów:

Z tego wynika, że:

$\phi =\alpha +\beta +{60}^{\circ }$  

$\phi ={37}^{\circ }+{19}^{\circ }+{60}^{\circ }$  

$\phi ={116}^{\circ }$  

Wyznaczamy wypadkową siłę z sił ${\overrightarrow{F}}_1$  i ${\overrightarrow{F}}_3$ :

Z własności równoległoboku wynika, że:

$2\phi +2\theta ={360}^{\circ }\mid -2\phi$  

$2\theta ={360}^{\circ }-2\phi \mid :2$  

$\theta =\frac{{360}^{\circ }-2\phi }{2}$  

$\theta =\frac{{360}^{\circ }-2\cdot {116}^{\circ }}{2}$  

$\theta =\frac{{360}^{\circ }-{232}^{\circ }}{2}$  

$\theta =\frac{{128}^{\circ }}{2}$  

$\theta ={64}^{\circ }$  

Korzystając z twierdzenia kosinusów wyznaczmy wartość wypadkowej siły  $\overrightarrow{F}$  od sił ${\overrightarrow{F}}_1$  i ${\overrightarrow{F}}_3$ :

$F^2=F_1^2+F_3^2-2F_1{F}_3\cos \theta$  

$F^2=4,75\cdot F_{12}^2+15,75F_{12}^2-2\cdot 0,5\sqrt{19}{F}_{12}\cdot 1,5\sqrt{7}{F}_{12}\cdot \cos {64}^{\circ }$  

$F^2=20,5F_{12}^2-1,5\sqrt{133}{F}_{12}^2\cdot 0,4067$  

$F^2=20,5F_{12}^2-1,5\cdot 11,5F_{12}^2\cdot 0,4067$  

$F^2=20,5F_{12}^2-7F_{12}^2$  

$F^2=13,5F_{12}^2\mid \sqrt{}$  

$F=\sqrt{13,5F_{12}^2}$  

$F=3,7F_{12}$  

W analogiczny sposób oznaczamy kolejne kąty:

Z twierdzenia kosinusów wyznaczamy kąt  $\gamma :$  

$F_2^2+F_{23}^2-2F_2{F}_{23}\cos \gamma =F_{12}^2$  

$13F_{12}^2+9F_{12}^2-2\cdot \sqrt{13}{F}_{12}\cdot 3F_{12}\cos \gamma =F_{12}^2$  

$22F_{12}^2-6\sqrt{13}{F}_{12}^2\cos \gamma =F_{12}^2\mid -22F_{12}^2$  

$-6\sqrt{13}{F}_{12}^2\cos \gamma =-21F_{12}^2\mid :\left(-6\sqrt{13}{F}_{12}^2\right)$  

$\cos \gamma =\frac{21}{6\sqrt{13}}$  

$\cos \gamma \approx \frac{21}{21,6333}$  

$\cos \gamma \approx 0,9707$  

$\gamma \approx {14}^{\circ }$  

Wyznaczamy miarę kąta  $\delta :$  

$F^2+F_1^2-2F{F}_1\cos \delta =F_2^2$  

$13,5F_{12}^2+4,75\cdot F_{12}^2-2\cdot 3,7F_{12}\cdot 0,5\sqrt{19}{F}_{12}\cdot \cos \delta =15,75F_{12}^2$  

$18,25\cdot F_{12}^2-3,7\sqrt{19}{F}_{12}^2\cdot \cos \delta =15,75F_{12}^2\mid -18,25\cdot F_{12}^2$  

$3,7\sqrt{19}{F}_{12}^2\cdot \cos \delta =-2,5F_{12}^2\mid :\left(-3,7\sqrt{19}{F}_{12}^2\right)$  

$\cos \delta =\frac{2,5}{3,7\sqrt{19}}$  

$\cos \delta \approx \frac{2,5}{3,7\cdot 4,4}$  

$\cos \delta \approx \frac{2,5}{16,28}$  

$\cos \delta \approx 0,1536$  

$\delta \approx {81}^{\circ }$  

Wyznaczamy wypadkowy wektor wszystkich sił:

Zauważmy, że:

$\epsilon ={180}^{\circ }\text{ oraz }{F}_2=F$  

Z tego wynika, że:

$F_w=0$  

---

Odpowiedź:

$F_1=0,5\sqrt{19}{F}_{12}=0,5\sqrt{19}\frac{2k{q}_1^2}{a^2}$  

$F_1=0,5\cdot \sqrt{19}\cdot \frac{2\cdot 9\cdot {10}^9\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}\cdot {\left({10}^{-8}\text{C}\right)}^2}{{\left(1\text{m}\right)}^2}\approx 0,5\cdot 4,4\cdot \frac{2\cdot 9\cdot {10}^9\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}\cdot {10}^{-16}{\text{C}}^2}{{\left(1\text{m}\right)}^2}=$  

$=0,5\cdot 4,4\cdot 18\cdot {10}^{-7}\text{N}=39,6\cdot {10}^{-7}\text{N}=3,96\cdot {10}^{-6}\text{N}$  

---

$F_2=\sqrt{13}{F}_{12}$  

$F_2=\sqrt{13}\cdot \frac{2\cdot 9\cdot {10}^9\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}\cdot {\left({10}^{-8}\text{C}\right)}^2}{{\left(1\text{m}\right)}^2}\approx 3,6\cdot \frac{2\cdot 9\cdot {10}^9\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}\cdot {10}^{-16}{\text{C}}^2}{{\left(1\text{m}\right)}^2}=$  

$=3,6\cdot 18\cdot {10}^{-7}\text{N}=64,8\cdot {10}^{-7}\text{N}=6,48\cdot {10}^{-6}\text{N}$  

---

$F_3=1,5\sqrt{7}{F}_{12}$  

$F_3=1,5\cdot \sqrt{7}\cdot \frac{2\cdot 9\cdot {10}^9\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}\cdot {\left({10}^{-8}\text{C}\right)}^2}{{\left(1\text{m}\right)}^2}\approx 1,5\cdot 2,65\cdot \frac{2\cdot 9\cdot {10}^9\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}\cdot {10}^{-16}{\text{C}}^2}{{\left(1\text{m}\right)}^2}=$  

$=1,5\cdot 2,65\cdot 18\cdot {10}^{-7}\text{N}=71,55\cdot {10}^{-7}\text{N}=7,155\cdot {10}^{-6}\text{N}$  

---

$F_w=0$