Dane:

$a=3m$  

$V=-60\frac{J}{kg}$  

$G=6,67\cdot {10}^{-11}\frac{N\cdot m^2}{k{g}^2}$  

Szukane:

$m=?$  

Rozwiązanie:

Potencjał pola grawitacyjnego V(r) w danym punkcie przedstawiamy za pomocą wzoru:

$V\left(r\right)=-\frac{G\cdot M}{r}$  

gdzie G jest stałą grawitacji, V(r) jest potencjałem pola grawitacyjnego pochodzącym od ciała o masie M w odległości r od tego ciał. Z treści zadania wiemy, że masy tych trzech ciał są takie same:

$m_1=m_2=m_3$  

Wyznaczmy odległości tych mas od czwartego wierzchołka kwadratu:

Z rysunku wynika, że odległości masy 1 i 3 są takie same, czyli:

$r_1=r_3=a$  

Natomiast odległość masy 2 jest przekątną kwadratu:

$r_2=d=a\sqrt{2}$  

Wówczas potencjały pola w czwartym wierzchołku pochodzący od poszczególnych mas ma postać:

$V_1=-\frac{Gm}{a}$  

$V_2=-\frac{Gm}{d}=-\frac{Gm}{a\sqrt{2}}$  

$V_3=-\frac{Gm}{a}$  

Korzystając z zasady superpozycji otrzymujemy, że wypadkowy potencjał w czwartym wierzchołku ma postać:

$V=V_1+V_2+V_3$  

$V=-\frac{Gm}{a}-\frac{Gm}{a\sqrt{2}}-\frac{Gm}{a}$  

$V=-\frac{\sqrt{2}Gm}{a\sqrt{2}}-\frac{Gm}{a\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}Gm}{a\sqrt{2}}$  

$V=-\frac{Gm}{a\sqrt{2}}-\frac{2\sqrt{2}Gm}{a\sqrt{2}}$  

$V=-\frac{1+2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\frac{Gm}{a}$  

Z tego wynika, że masy poszczególnych ciał wytwarzających pole grawitacyjne ma postać:

$V=-\frac{1+2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\frac{Gm}{a}\mid \cdot \sqrt{2}a$  

$\sqrt{2}aV=-\left(1+2\sqrt{2}\right)Gm\mid :\left(-G\left(1+2\sqrt{2}\right)\right)$  

$-\frac{\sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}}\frac{aV}{G}=m$  

$m=-\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+1}\frac{aV}{G}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$m=-\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+1}\cdot \frac{3m\cdot \left(-60\frac{J}{kg}\right)}{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{N\cdot m^2}{k{g}^2}}\approx \frac{1,41}{2\cdot 1,41+1}\cdot \frac{3m\cdot 60\frac{N\cdot m}{kg}}{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{N\cdot m^2}{k{g}^2}}=$  

$=\frac{1,41}{2,82+1}\cdot \frac{180\frac{\sout{N\cdot m^2}}{\sout{kg}}}{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\sout{N\cdot m^2}}{\sout{kg}}\cdot \frac{1}{kg}}\approx \frac{1,41}{3,82}\cdot 26,9865\cdot {10}^{11}kg\approx$  

$\approx 0,3691\cdot 26,9865\cdot {10}^{11}kg\approx 9,96\cdot {10}^{11}kg\approx 10\cdot {10}^{11}kg={10}^{12}kg$  

Odp.: Masa, każdego z ciał działających wytwarzających pole grawitacyjne wynosi około  ${10}^{12}kg.$