Udowadniamy, że odległość między pierwszym a zerowym prążkiem interferencyjnym, drugim a pierwszym itd. są w przybliżeniu takie same:

 

Wzmocnienie fali w zależności od kąta ugięcia promieni świetlnych możemy przedstawić wzorem:

$\sin {\theta }_n=\frac{n\lambda }{d}$  

gdzie:

$n$  - oznacza kolejny numer prążka, 

$\lambda$  - długość fali, 

$d$  - odległość między szczelinami, 

${\theta }_n$  - kąt, pod jakim ugina się promień fali.

Zauważmy, że:

Jeżeli kąty są niewielkie, to prawdziwe jest przybliżenie:

$\sin {\theta }_n\approx \mathrm{tg}{\theta }_n$  

Korzystając z funkcji trygonometrycznych możemy zapisać, że:

$\mathrm{tg}{\theta }_n=\frac{x_n}{l}$  

gdzie:

$x_n$  - odległość prążka n-tego rzędu od środkowego,

$l$  - odległość siatki dyfrakcyjnej od ekranu.

Wówczas zależność odległości n-tego prążka od zerowego będzie miała postać:

$\sin {\theta }_n=\frac{n\lambda }{d}$  

$\mathrm{tg}{\theta }_n=\frac{n\lambda }{d}$  

$\frac{x_n}{l}=\frac{n\lambda }{d}\mid \cdot l$  

$x_n=\frac{n\lambda l}{d}$  

Wówczas dla poszczególnych rzędów otrzymujemy, że odległość n-tego prążka od środkowego możemy przedstawić wzorem:

▶ dla $n=1$ :

$x_1=\frac{\lambda l}{d}$  

▶ dla $n=2$ :

$x_2=\frac{2\lambda l}{d}$  

$x_2=2\cdot \frac{\lambda l}{d}$  

$x_2=2x_1$  

▶ dla $n=3$ :

$x_3=\frac{3\lambda l}{d}$  

$x_3=3\cdot \frac{\lambda l}{d}$  

$x_3=3x_1$  

▶ dla $n=4$ :

$x_4=\frac{4\lambda l}{d}$  

$x_4=4\cdot \frac{\lambda l}{d}$  

$x_4=4x_1$  

$⋮$   

▶ dla $n=m$ :

$x_m=\frac{m\lambda l}{d}$  

$x_m=m\cdot \frac{\lambda l}{d}$  

$x_m=m{x}_1$  

▶ dla $n=m+1$ :

$x_{m+1}=\frac{\left(m+1\right)\lambda l}{d}$  

$x_{m+1}=\left(m+1\right)\cdot \frac{\lambda l}{d}$  

$x_{m+1}=\left(m+1\right)x_1$  

$\dots \text{itd.}$  

Wówczas dla poszczególnych odległości pomiędzy dwoma kolejnymi prążkami otrzymujemy:

$\Delta x=x_{m+1}-x_m$   

$\Delta x=\left(m+1\right)x_1-m{x}_1$  

$\Delta x=m{x}_1+x_1-m{x}_1$  

$\Delta x=x_1$  

Obliczamy błąd względny tego przybliżenia:

Wiemy, że:

${\theta }_1={10}^{\circ }$   

Błąd bezwzględny pomiaru ma postać:

$\left|x\right|=\left|x-x_z\right|$  

gdzie |x| jest błędem bezwzględnym pomiaru, x jest dokładną wartością, x_z jest oszacowaną wartością. Dla naszego przypadku wiemy, że dokładna wartość to:

$x=\sin {\theta }_1\Rightarrow x=\sin {10}^{\circ }\Rightarrow x=0,1736$  

$x_z=\mathrm{tg}{\theta }_1\Rightarrow x_z=\mathrm{tg}{10}^{\circ }\Rightarrow x_z=0,1763$  

Z tego wynika, że błąd bezwzględny pomiaru wynosi:

$\left|x\right|=\left|x-x_z\right|$  

$\left|x\right|=\left|0,1736-0,1763\right|$  

$\left|x\right|=\left|-0,0027\right|$  

$\left|x\right|=0,0027$  

Błąd względny pomiaru przedstawimy zależnością:

$\Delta x=\frac{\left|x\right|}{x}\cdot 100\%$  

gdzie:

$\Delta x$  - względny błąd pomiaru,

$\left|x\right|$  - bezwzględny błąd pomiaru,

$x$  - wartość dokładna.

Wówczas dla naszego przypadku otrzymujemy, że:

$\Delta x=\frac{0,0027}{0,1736}\cdot 100\%\approx 0,01555\cdot 100\%\approx 1,555\%$