Punkt materialny wykonuje drgania harmoniczne o amplitudzie A wzdłuż osi x. W pewnej... 4.67 gwiazdek na podstawie 6 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Fizyka

`a)` 

W zadaniu podane mamy, że:

`x_1=A/2`  

`Deltaphi = 120^@`   

`phi_1=0` 

Możemy z tego wywnioskować, że:

`Deltaphi=120^@` 

`phi_2-phi_1=120^@` 

`phi_2 - 0 =120^@` 

`phi_2=120^@` 

`phi_2=2/3 pi `  

Teraz korztystając z ogólnego wzoru na funkcje położenia w ruchu drgającym możemy zapisać, że układ równań dla położenia początkowego i końcowego:

`{(x_1=Asin(omegat+phi_1)),(x_2=Asin(omegat+phi_2)):}` 

`{(A/2=Asin(omegat+0)\ \ \ \ \ |:A ),(x_2=Asin(omegat+2/3 pi)):}` 

`{(1/2=sin(omegat)),(x_2=Asin(omegat+2/3 pi)):}`  

Korzystając z funkcji trygonometrycznych wiemy, że:

`sin alpha = 1/2\ \ \ =>\ \ \ alpha = pi/6` 

Z tego wynika, że:

`{(omegat = pi/6 ),(x_2=Asin(omegat+2/3 pi)):}` 

`{(omegat = pi/6 ),(x_2=Asin(pi/6+(2pi)/3)):}` 

`{(omegat = pi/6 ),(x_2=Asin(pi/6+(4pi)/6)):}` 

`{(omegat = pi/6 ),(x_2=Asin((5pi)/6)):}` 

Korzystamy z wzorów redukcyjnych:

`sin(alpha+pi/2) = cos alpha` 

Wówczas otrzymujemy, że:

`x_2=Asin((3pi)/6+(2pi)/6)` 

`x_2=Asin(pi/2+pi/3)` 

`x_2=Acos( pi/3) ` 

`x_2=A*1/2` 

`x_2=A/2`      

 

`b)` 

Zakładamy, że:

`phi_1!= 0` 

Oznacza to, że:

`x_1=Asin(omegat+phi_1)` 

`A/2=Asin(omegat+phi_1)\ \ \ \ |:A` 

`1/2=sin(omegat+phi_1)` 

Korzystając z funkcji trygonometrycznych wiemy, że:

`sin alpha=1/2\ \ \ =>\ \ \ alpha=pi/6` 

Oznacza to, że:

`omegat+phi_1=pi/6\ \ \ \ \ |-omega t` 

`phi_1=pi/6-omega t` 

Z zadania wiemy, że:

`Delta phi = 120^@` 

`Deltaphi = (2pi)/3` 

`phi_2 - phi_1 = (2pi)/3` 

`phi_2 - (pi/6 - omega t) = (2pi)/3\ \ \ \ \ |+(pi/6 - omega t) ` 

`phi_2 = (2pi)/3 + pi/6 - omega t` 

`phi_2 = (4pi)/6 + pi/6 - omega t` 

`phi_2 = (5pi)/6 - omega t` 

Korzystając z ogólnego wzoru na funkcję położenia w ruchu drgającym mamy, że:

`x_2=A(sin(omegat+phi_2))` 

`x_2=Asin(omegat+(5pi)/6-omegat)` 

`x_2=Asin((5pi)/6)` 

`x_2=Asin((3pi)/6 + (2pi)/6)` 

`x_2=Asin(pi/2 + pi/3)` 

Korzystamy z wzoru redukcyjnego funkcji trygonometrycznych:

`sin(alpha+pi/2) = cos alpha`

Oznacza to, że otrzymujemy:

`x_2 = A cos(pi/3)` 

`x_2=A*1/2` 

`x_2=A/2` 

Otrzymaliśmy dokładnie taki sam wynik jak w podpunkcie a).

 

`c)` 

Przyjmujemy, że na początku ciało znajdowała sie w położeniu zerowym z zerową fazą. Oznacza to, że najpierw poruszało się z ruchem przyspieszonym. W chwili osiągnięcia położenia równego amplitudzie zaczęło poruszać się ruchem jednostajnie opóżnionym, aż do uzyskania położenia równego połowie amplitudy. 

 

`d)` 

Obliczamy współrzędne prędkości w chwili początkowej i końcowej. Korzystamy z ogólnego wzoru na prędkość:

`v=Aomega cos(omegat+phi)` 

Zakładamy, że współrzędna początkowa ma zerową fazę, a współrzędna końcowa ma fazę φ2 = 120°. Wówczas otrzymujemy, że:

` v_1=Aomega cos(omegat+phi_1)\ \ \ "oraz"\ \ \ v_2=Aomegacos(omegat+phi_2) `  

`v_1=Aomega cos(omegat+0)\ \ \ "oraz"\ \ \ v_2=Aomegacos(omegat+(2pi)/3)` 

`v_1=Aomega cos(omegat)\ \ \ "oraz"\ \ \ v_2=Aomegacos(omegat-pi/3+(3pi)/3)`  

`v_1=Aomega cos(omegat+phi_1)\ \ \ "oraz"\ \ \ v_2=Aomegacos(omegat-pi/3+pi)` 

Korzystamy z wzorów redukcyjnych funkcji trygonometrycznych:

`cos(alpha+pi)=-cos alpha` 

Z tego otrzymujemy, że:

`v_1=Aomega cos(omegat+phi_1)\ \ \ "oraz"\ \ \ v_2=-Aomegacos(omegat-pi/3)` 

Prędkości będą różniły się znakiem. Pierwsza prędkość będzie miała dodatnią wartość, a druga będzie miała ujemną wartość.

 

Obliczamy współrzędne przyspieszenia w chwili początkowej i końcowej. Korzystamy z ogólnego wzoru na przyspieszenie w postaci:

`a = -Aomega^2 sin(omegat+phi)`   

Zakładamy, że współrzędna początkowa ma zerową fazę, a współrzędna końcowa ma fazę φ2 =120°. Wówczas otrzymujemy, że:

`a_1=-Aomega^2sin(omegat+phi_1) \ \ \ "oraz"\ \ \ a_2=-Aomega^2sin(omegat+phi_2)` 

`a_1=-Aomega^2sin(omegat+0) \ \ \ "oraz"\ \ \ a_2=-Aomega^2sin(omegat+(2pi)/3)` 

`a_1=-Aomega^2sin(omegat) \ \ \ "oraz"\ \ \ a_2=-Aomega^2sin(omegat-pi/3+(3pi)/3)` 

`a_1=-Aomega^2sin(omegat) \ \ \ "oraz"\ \ \ a_2=-Aomega^2sin(omegat-pi/3 +pi)` 

Korzystamy z wzorów redukcyjnych funkcji trygonometrycznych:

`sin(alpha+pi) = -sin alpha` 

Z tego otrzymujemy, że: 

`a_1=-Aomega^2sin(omegat) \ \ \ "oraz"\ \ \ a_2=-Aomega^2(-sin(omegat-pi/3 ))` 

`a_1=-Aomega^2sin(omegat) \ \ \ "oraz"\ \ \ a_2=Aomega^2sin(omegat-pi/3)` 

Przyspieszenia będą różniły się znakiem. Pierwsze przyspiesznie będzie miało ujemną wartość, a drugie będzie miało dodatnią wartość.

DYSKUSJA
Informacje
Z fizyką w przyszłość. Zbiór zadań. Zakres rozszerzony. Część 2
Autorzy: Agnieszka Bożek, Katarzyna Nessing, Jadwiga Salach
Wydawnictwo: WSiP
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Wiedza
Dzielenie ułamków dziesiętnych przez 10, 100, 1000...

Aby podzielić ułamek dziesiętny przez 10, 100, 1000 itd. należy przesunąć przecinek w lewo o tyle miejsc ile jest zer w liczbie przez którą dzielimy (czyli w 10, 100, 1000 itd.)

Przykłady:

  • $$0,34÷10= 0,034$$ ← przesuwamy przecinek o jedno miejsce w lewo
  • $$311,25÷100= 3,1125$$ ← przesuwamy przecinek o dwa miejsca w lewo
  • $$53÷1000= 0,053$$ ← przesuwamy przecinek o trzy miejsca w lewo
Równość ułamków

Każdy ułamek można zapisać na nieskończoną ilość sposobów. Dokonując operacji rozszerzania lub skracania otrzymujemy ułamek, który jest równy ułamkowi wyjściowemu.

Pamiętajmy jednak, że każdy ułamek można rozszerzyć, jednak nie każdy ułamek można skrócić. Ułamki, których nie da się już skrócić nazywamy ułamkami nieskracalnymi.

  • Rozszerzanie ułamków - mnożymy licznik i mianownik przez tą sama liczbę różną od zera; ułamek otrzymamy w ten sposób jest równy ułamkowi wyjściowemu.

    Przykład:

    • Rozszerzmy ułamek $$3/5$$ przez 3, czyli licznik i mianownik mnożymy przez 3:

      $$3/5=9/{15}={27}/{45}=...$$
       
  • Skracanie ułamków - dzielimy licznik i mianownik przez tą samą liczbę różną od zera; ułamek otrzymany w ten sposób jest równy ułamkowi wyjściowemu.

    Przykład:

    • Skróćmy ułamek $$8/{16}$$ przez 2, czyli licznik i mianownik dzielimy przez 2:

      $$8/{16}=4/8=2/4=1/2$$ 
 
Zobacz także
Udostępnij zadanie