Wiemy, że ogólny wzór na położenie ciała w ruchu harmonicznym ma postać:

$x\left(t\right)=A\sin \left(\omega t+\varphi \right)$  

W zadaniu podane mamy, że:

$x\left(t\right)=0,04\sin \left(\frac{\pi }{3}t\right)$  

Oznacza to, że mamy:

$A=0,04m=4cm$  

$\omega =\frac{\pi }{3}\frac{\text{rad}}{s}$  

$\varphi =0$  

 

$a)$  

Z wzoru odczytujemy, że amplituda wynosi:

$A=4cm$  

Okres drgań obliczymy korzystając z wzoru:

$T=\frac{2\pi }{\omega }$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru i odcztujemy, że:

$T=\frac{2\pi }{\frac{\pi }{3}\frac{\text{rad}}{s}}=\frac{2}{\frac{1}{3}\frac{1}{s}}=2\cdot 3s=6s$  

 

$b)$  

Szybkość maksymalną obliczymy korzystając z wzoru:

$v_{\text{max}}=A\omega$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_{\text{max}}=0,04m\cdot \frac{3,14}{3}\frac{\text{rad}}{s}=0,04186667\frac{m}{s}\approx 0,0419\frac{m}{s}=0,0419\frac{100cm}{s}=4,19\frac{cm}{s}$  

Średnią szybkość wyznaczymy ze stosunku całkowitej drogi przebytej przez ciało do czasu w jakim to miało miejsce. Całkowitą drogę przebytą wyznaczymy obliczając najpierw zmianę położenia w ciągu jednej czwartej części okresu drgań ciała:

$x_k=A\sin \left(\frac{\pi }{3}\cdot \frac{T}{4}\right)$  

$x_k=0,04m\cdot \sin \left(\frac{\pi }{3}\frac{\text{rad}}{s}\cdot \frac{6s}{4}\right)=0,04m\cdot \sin \left(\frac{\pi }{3}\cdot \frac{3}{2}\right)=0,04m\cdot \sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=0,04m\cdot 1=0,04m$  

Oznacza to, że droga przebyta w ciągu trwania jednej czwartej częsci okresu wynosi:

$s=x_k-x_p\text{gdzie }{x}_p=0m$  

Wówczas otrzymujemy, że:

$s=0,04m$

Oznacza to, że całkowita droga przebyta przez ciało wynosi:

$\Delta s=4s$  

$\Delta s=4\cdot 0,04m=0,16m$  

Wówczas średnia szybkość będzie miała postać:

$v_{\text{sˊr}}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$  

gdzie:

$\Delta t=T=6s$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_{\text{sˊr}}=\frac{0,16m}{6s}=0,0266667\frac{m}{s}\approx 0,0267\frac{m}{s}=0,0267\cdot \frac{100cm}{s}=2,67\frac{cm}{s}$  

 

$c)$  

Maksymalne przyspieszenie obliczymy korzystając z wzoru:

$a_{\text{max}}=A{\omega }^2$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$a_{\text{max}}=0,04m\cdot {\left(\frac{3,14}{3}\frac{\text{rad}}{s}\right)}^2=0,04m\cdot \frac{9,8596}{9}\frac{1}{s^2}=0,04382044\frac{m}{s^2}\approx 0,044\frac{m}{s^2}=0,044\cdot \frac{100cm}{s^2}=4,4\frac{cm}{s^2}$  

 

$d)$  

Wiemy, że ogólny wzór na funkcję prędkości ma postać:

$v\left(t\right)=A\omega \cos \left(\omega t+\varphi \right)$  

Dla naszego przypadku mamy, że:

$v\left(t\right)=0,04\frac{\pi }{3}\cos \left(\frac{\pi }{3}t\right)$  

Wiemy, że ogólny wzór na funkcję przyspieszenia ma postać:

$a\left(t\right)=-A{\omega }^2\sin \left(\omega t+\varphi \right)$  

Dla naszego przypadku mamy, że:

$a\left(t\right)=-0,04\frac{{\pi }^2}{9}\sin \left(\frac{\pi }{3}t\right)$