Na rysunku przedstawiono cykl pracy...- Zadanie Zadanie 8.41: Z fizyką w przyszłość. Zbiór zadań. Zakres rozszerzony. Część 2. Po gimnazjum

Rozwiązanie

Dane:

$n = 0, 5 mol$

$T_{1} = 300 K$

$T_{2} = 790 K$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ stała gazowa: $R = 8, 31 \frac{J}{mol \cdot K}$ ,

▶ ciepło właściwe molowe przy stałej objętości dla gazu dwuatomowego: $C_{V} = \frac{5}{2} R$ ,

▶ ciepło właściwe molowe przy stałym ciśnieniu dla gazu dwuatomowego: $C_{p} = \frac{7}{2} R$ .

$a)$

Szukane:

$η = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie sprawności silnika cieplnego, którego cykl pracy przedstawiono na rysunku obok zadania. Wiemy z treści zadania również, że przemiana $2 \to 3$ jest adiabatyczna. Oznacza to, że w tej przemianie układ nie wymienia ciepła z otoczeniem, czyli:

$Δ Q_{2 \to 3} = 0$

gdzie:

$Δ Q_{2 \to 3}$ - ciepło wymienione z otoczeniem w przemianie $2 \to 3$ .

Wówczas możemy pominąć w naszych rozważaniach przemianę $2 \to 3$ . Sprawność cyklu silnika cieplnego możemy przedstawić jako iloraz uzyskanej pracy i pobranego ciepła:

$η = \frac{W}{Q _{pobr}} \cdot 100%$

gdzie:

$η$ - sprawność cyklu silnika cieplnego,

$W$ - praca wykonana prze silnik cieplny,

$Q_{pobr}$ - ciepło pobrane przez układ.

Pracę uzyskaną w przemianie gazu wyrażamy jako różnicę ciepła pobranego przez gaz i ciepła oddanego przez gaz:

$W = Q_{pobr} - Q_{odd}$

gdzie:

$W$ - praca w cyklu,

$Q_{pobr}$ - ciepło pobrane przez układ,

$Q_{odd}$ - ciepło oddane przez układ.

Zatem otrzymamy:

$η = \frac{Q _{pobr} - Q _{odd}}{Q _{pobr}} \cdot 100%$

Aby określić, w której przemianie układ pobiera, a w której oddaje ciepło przeanalizujmy wykres i dane w zadaniu. Zauważmy, że w przemianie $1 \to 2$ mamy stałą objętość, czyli jest to przemiana izochoryczna. Natomiast w przemianie $3 \to 1$ mamy stałe ciśnienie, czyli jest to przemiana izobaryczna. Wiemy również w treści zadania, że $T_{1} < T_{2}$ . Musimy wyznaczyć jeszcze temperaturę w stanie $(3)$ .

Dla przemiany izobarycznej gazu doskonałego zgodnie z prawem Gay - Lussaca prawdziwa jest równość:

$\frac{V}{T} = const.$

gdzie:

$V$ - objętość gazu,

$T$ - temperatura gazu.

Wówczas możemy zapisać, że:

$\frac{V _{1}}{T _{1}} = \frac{V _{3}}{T _{3}}$

gdzie:

$V_{1}$ - objętość gazu w stanie $(1)$ ,

$V_{3}$ - objętość gazu w stanie $(3)$ ,

$T_{1}$ - temperatura gazu w stanie $(1)$ ,

$T_{3}$ - temperatura gazu w stanie $(3)$ .

Zatem dla stanu $(3)$ otrzymamy:

$\frac{V _{1}}{T _{1}} = \frac{V _{3}}{T _{3}} ∣ \cdot T_{1} T_{3}$

$V_{1} T_{3} = V_{3} T_{1}$

Z wykresu dołączonego do zadania widzimy, że $V_{3} = 2 V_{1}$ . Wówczas:

$V_{1} T_{3} = 2 V_{1} T_{1}$

$T_{3} = 2 T_{1}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$T_{3} = 2 \cdot 300 K = 600 K$

Otrzymujemy wówczas, że:

$T_{1} < T_{3} < T_{2}$

Z powyższego wynika, że silnik będzie pobierał ciepło w procesie izochorycznego ogrzewania ( $1 \to 2$ ), ponieważ wówczas temperatura w układzie wzrasta. Natomiast silnik oddawał będzie ciepło w procesie izobarycznego sprężania ( $3 \to 1$ ), ponieważ wówczas temperatura będzie maleć.

Ilość ciepła potrzebna do określonego przyrostu temperatury gazu przy stałej objętości wyraża się wzorem:

$Q = n C_{V} Δ T$

gdzie:

$Q$ - ciepło wymienione z otoczeniem,

$n$ - liczba moli gazu,

$C_{V}$ - ciepło molowe przy stałej objętości,

$Δ T$ - zmiana temperatury gazu.

W naszym przypadku zmiana temperatury wynosi:

$Δ T_{1 \to 2} = T_{2} - T_{1}$

Zatem ciepło pobrane ma postać:

$Q_{pobr} = n C_{V} Δ T_{1 \to 2}$

$Q_{pobr} = n \cdot \frac{5}{2} R \cdot (T_{2} - T_{1})$

$Q_{pobr} = \frac{5}{2} n R (T_{2} - T_{1})$

Ilość ciepła potrzebna do określonego przyrostu temperatury gazu przy stałym ciśnieniu wyraża się wzorem:

$Q = n C_{p} Δ T$

gdzie:

$Q$ - ciepło wymienione z otoczeniem,

$n$ - liczba moli gazu,

$C_{p}$ - ciepło molowe przy stałym ciśnieniu,

$Δ T$ - zmiana temperatury gazu.

W naszym przypadku temperatura maleje, dlatego jej zmianę możemy przedstawić wzorem:

$Δ T_{3 \to 1} = T_{3} - T_{1}$

Zatem ciepło oddane ma postać:

$Q_{odd} = n C_{p} Δ T_{3 \to 1}$

$Q_{odd} = n \cdot \frac{7}{2} R \cdot (T_{3} - T_{1})$

$Q_{odd} = \frac{7}{2} n R (T_{3} - T_{1})$

$Q_{odd} = \frac{7}{2} n R (2 T_{1} - T_{1})$

$Q_{odd} = \frac{7}{2} n R T_{1}$

Sprawność cyklu będzie wówczas wynosiła:

$η = \frac{Q _{pobr} - Q _{odd}}{Q _{pobr}} \cdot 100%$

$η = \frac{\frac{5}{2} n R ( T _{2} - T _{1} ) - \frac{7}{2} n R T _{1}}{\frac{5}{2} n R ( T _{2} - T _{1} )} \cdot 100%$

$η = \frac{\frac{1}{2} n R ( 5 ( T _{2} - T _{1} ) - 7 T _{1} )}{\frac{1}{2} n R \cdot 5 ( T _{2} - T _{1} )} \cdot 100%$

$η = \frac{5 T _{2} - 5 T _{1} - 7 T _{1}}{5 ( T _{2} - T _{1} )} \cdot 100%$

$η = \frac{5 T _{2} - 12 T _{1}}{5 ( T _{2} - T _{1} )} \cdot 100%$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$η = \frac{5 \cdot 790 K - 12 \cdot 300 K}{5 \cdot ( 790 K - 300 K )} \cdot 100% =$

$= \frac{3 950 K - 3 600 K}{5 \cdot 490 K} \cdot 100% =$

$= \frac{350 K}{2 450 K} \cdot 100% = \frac{1}{7} \cdot 100% \approx$

$\approx 0, 143 \cdot 100% = 14, 3%$

Odpowiedź: Sprawność silnik wynosi około 14,3 %.

$b)$

Szukane:

$W_{2 \to 3} = ?$

Rozwiązanie:

SPOSÓB 1: Korzystamy z wyniku uzyskanego w podpunkcie a).

Zauważmy, że praca jaką wykonał gaz w przemianie adiabatycznej jest polem pod wykresem adiabaty:

Jednakże z podpunktu a) mamy wzór na pracę całkowitą silnika cieplnego, czyli jest to pole figury oznaczonej kolorem zielonym:

Wzór ten ma postać:

$W = Q_{pobr} - Q_{odd}$

Korzystając z analizy poprzedniego podpunktu otrzymamy:

$W = \frac{5}{2} n R (T_{2} - T_{1}) - \frac{7}{2} n R T_{1}$

$W = \frac{1}{2} n R (5 (T_{2} - T_{1}) - 7 T_{1})$

$W = \frac{1}{2} n R (5 T_{2} - 5 T_{1} - 7 T_{1})$

$W = \frac{1}{2} n R (5 T_{2} - 12 T_{1})$

Potrzebne jest nam jeszcze wyznaczenie obszaru poniżej pracy całkowite, czyli musimy wyznaczyć pole prostokąta o wymiarach:

$a = p_{1}$

$b = V_{2} - V_{1}$

Zatem praca ta ma postać:

$W_{x} = a b$

$W_{x} = p_{1} (V_{2} - V_{1})$

$W_{x} = p_{1} (2 V_{1} - V_{1})$

$W_{x} = p_{1} V_{1}$

Dla gazu doskonałego jego parametry możemy opisać za pomocą równania Clapeyrona:

$p V = n R T$

gdzie:

$p$ - ciśnienie gazu,

$V$ - objętość gazu,

$n$ - liczba moli gazu,

$R$ - stała gazowa,

$T$ - temperatura gazu doskonałego.

Wówczas iloczyn ciśnienia i objętości w stanie $(1)$ możemy przedstawić wzorem:

$p_{1} V_{1} = n R T_{1}$

Zatem mamy:

$W_{x} = n R T_{1}$

Zatem wzór na całkowitą prace jaka została wykonana przez gaz w przemianie adiabatycznej przyjmuję postać:

$W_{2 \to 3} = W + W_{x}$

$W_{2 \to 3} = \frac{1}{2} n R (5 T_{2} - 12 T_{1}) + n R T_{1}$

$W_{2 \to 3} = \frac{1}{2} n R (5 T_{2} - 12 T_{1}) + \frac{1}{2} n R \cdot 2 T_{1}$

$W_{2 \to 3} = \frac{1}{2} n R (5 T_{2} - 12 T_{1} + 2 T_{1})$

$W_{2 \to 3} = \frac{1}{2} n R (5 T_{2} - 10 T_{1})$

$W_{2 \to 3} = n R (2, 5 T_{2} - 5 T_{1})$

Wstawiamy dane i obliczamy:

$W_{2 \to 3} = 0, 5 mol \cdot 8, 31 \frac{J}{mol \cdot K} \cdot (2, 5 \cdot 790 K - 5 \cdot 300 K) =$

$= 4, 155 \frac{J}{K} \cdot (1975 K - 1500 K) =$

$= 4, 155 \frac{J}{K} \cdot 475 K =$

$= 1973, 625 J \approx 1970 J$

SPOSÓB 2: Korzystamy z pierwszej zasady termodynamiki.

Obliczamy pracę wykonaną przez gaz korzystając z pierwszej zasady termodynamiki:

$Δ U = Q + W$

gdzie:

$Δ U$ - zmiana energii wewnętrznej,

$Q$ - ciepło wymienione przez ciało z otoczeniem,

$W$ - praca wykonana przez siłę zewnętrzną.

Mamy do czynienia z przemianą adiabatyczną, czyli:

$Q_{2 \to 3} = 0$

Zgodnie z zasadą ekwipartycji energii zmiana energii wewnętrznej w zamkniętym zbiorniku wynosi:

$Δ U = \frac{N i k}{2} \cdot Δ T$

gdzie:

$N$ - liczba cząsteczek gazu,

$i$ - stopnień swobody,

$k$ - stała Boltzmanna,

$Δ T$ - zmiana temperatury.

Wiemy, że stałą Boltzmanna możemy obliczyć jako iloraz stałej gazowej i liczby Avogadro:

$k = \frac{R}{N _{A}}$

Natomiast liczbę cząsteczek gazu możemy przedstawić jako iloczyn liczby moli i stałej Avogadro:

$N = n N_{A}$

Wówczas w ogólnym przypadku mamy:

$Δ U = \frac{N i k}{2} \cdot Δ T$

$Δ U = \frac{n N _{A} i \cdot \frac{R}{N _{A}}}{2} \cdot Δ T$

$Δ U = \frac{i n R}{2} \cdot Δ T$

W przemianie adiabatycznej temperatura maleje, dlatego jej zmianę przedstawimy jako:

$Δ T_{2 \to 3} = T_{2} - T_{3}$

W naszym przypadku, dla gazu dwuatomowego otrzymamy, że zmiana energii wewnętrznej wynosi:

$Δ U_{2 \to 3} = \frac{5 n R}{2} \cdot Δ T_{2 \to 3}$

$Δ U_{2 \to 3} = \frac{5}{2} n R (T_{2} - T_{3})$

$Δ U_{2 \to 3} = \frac{5}{2} n R (T_{2} - 2 T_{1})$

Z pierwszej zasady termodynamiki otrzymamy równanie:

$Δ U_{2 \to 3} = Q_{2 \to 3} + W_{2 \to 3}$

$\frac{5}{2} n R (T_{2} - 2 T_{1}) = 0 + W_{2 \to 3}$

$W_{2 \to 3} = \frac{5}{2} n R (T_{2} - 2 T_{1})$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$W_{2 \to 3} = \frac{5}{2} \cdot 0, 5 mol \cdot 8, 31 \frac{J}{mol \cdot K} \cdot (790 K - 2 \cdot 300 K) =$

$= 2, 5 \cdot 0, 5 \cdot 8, 31 \frac{J}{K} \cdot (790 K - 600 K) =$

$= 10, 8375 \frac{J}{K} \cdot 190 K =$

$= 1973, 625 J \approx 1970 J$

Odpowiedź: Praca jaką wykonał gaz w przemianie adiabatycznej wynosi około 1970 J.

Ewelina Wysopal

Nauczycielka fizyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.