$a)$  

W zadaniu podane mamy ciśnienie i temperaturę dla każdego stanu gazu. Ciśnienie obliczymy korzystając z równania Clapeyrona:

$pV=nRT\mid :V$  

$p=\frac{nRT}{V}$  

Wówczas dla każdego ze stanów otrzymujemy, że:

$\text{dla stanu 1: }{T}_1\text{ i }{V}_1\text{ woˊwczas }{p}_1=\frac{nR{T}_1}{V_1}$  

$\text{dla stanu 2: }{T}_2=2T_1\text{ i }{V}_2=V_1\text{ woˊwczas }{p}_2=\frac{nR{T}_2}{V_2}=\frac{nR2T_1}{V_1}=2\frac{nR{T}_1}{V_1}=2p_1$  

$\text{dla stanu 3: }{T}_3=4T_1\text{ i }{V}_3=2V_1\text{ woˊwczas }{p}_2=\frac{nR{T}_2}{V_2}=\frac{nR4T_1}{2V_1}=2\frac{nR{T}_1}{V_1}=2p_1$  

$\text{dla stanu 4: }{T}_4=2T_1\text{ i }{V}_2=2V_1\text{ woˊwczas }{p}_2=\frac{nR{T}_2}{V_2}=\frac{nR2T_1}{2V_1}=\frac{nR{T}_1}{V_1}=p_1$   

W zadaniu podane mamy, że:

$T_1=300K$  

$V_1=0,02m^3$  

Wówczas:

$p_1=\frac{2\text{mol}\cdot 8,31\frac{J}{\text{mol}\cdot K}\cdot 300K}{0,02m^3}=\frac{4986J}{0,02m^3}=249300Pa=2493hPa$  

Zapiszmy w tabeli liczbowe wyniki dla poszczególnych stanów:

Stan gazu	Temperatura	Objętość	Ciśnienie
1	${\text{T}}_1=300\text{K}$	${\text{V}}_1=0,02{\text{m}}^3$	${\text{p}}_1=2493\text{hPa}$
2	${\text{T}}_2=600\text{K}$	${\text{V}}_2=0,02{\text{m}}^3$	${\text{p}}_2=4986\text{hPa}$
3	${\text{T}}_3=1200\text{K}$	${\text{V}}_3=0,04{\text{m}}^3$	${\text{p}}_3=4986\text{hPa}$
4	${\text{T}}_4=600\text{K}$	${\text{V}}_4=0,04{\text{m}}^3$	${\text{p}}_4=2493\text{hPa}$

 

$b)$  

 

$c)$  

Widzimy, że mamy do czynienia z dwoma przemianami izobarycznymi i dwoma przemianami izochorycznymi. Ciepło będziemy zatem obliczać korzystając z zależności:

$Q_V=n{C}_V\Delta T$  

$Q_p=n{C}_p\Delta T$  

gdzie z treści zadania wynika, że:

$n=2\text{mol}$  

$C_V=\frac{5}{2}R$  

$C_p=\frac{7}{2}R$

Z tablic odczytujemy, że:

$R=8,31\frac{J}{\text{mol}\cdot K}$

Wówczas dla poszczególnych przemian otrzymujemy:

$\diamond \text{1 }\to \text{ 2}$  

Przemiana izochoryczna. Możemy zatem zapisać, że

$Q_{1\to 2}=n{C}_V\Delta T_{1\to 2}$  

$Q_{1\to 2}=n\frac{5}{2}R\left(T_2-T_1\right)$  

$Q_{1\to 2}=\frac{5}{2}nR\left(2T_1-T_1\right)$  

$Q_{1\to 2}=\frac{5}{2}nR{T}_1$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$Q_{1\to 2}=\frac{5}{2}\cdot 2\text{mol}\cdot 8,31\frac{J}{\text{mol}\cdot K}\cdot 300K=12465J$  

$\diamond \text{2 }\to \text{ 3}$   

Przemiana izobaryczna. Możemy zatem zapisać, że:

$Q_{2\to 3}=n{C}_p\Delta T_{2\to 3}$  

$Q_{2\to 3}=n\frac{7}{2}R\left(T_3-T_2\right)$  

$Q_{2\to 3}=\frac{7}{2}nR\left(4T_1-2T_1\right)$

$Q_{2\to 3}=\frac{7}{2}nR\cdot 2T_1$

$Q_{2\to 3}=7nR{T}_1$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$Q_{2\to 3}=7\cdot 2\text{mol}\cdot 8,31\frac{J}{\text{mol}\cdot K}\cdot 300K=34902J$  

Ciepło pobrane przez gaz w całym cyklu obliczymy korzystając z faktu, że silnik pobiera ciepło ciepło w izochorycznym rozprężaniu gazu oraz izobarycznym rozprężaniu gazu, ponieważ w tych przemianach temperatura wzrasta. Oznacza to, że:

$Q_{\text{pobrane}}=Q_{1\to 2}+Q_{2\to 3}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$Q_{\text{pobrane}}=12465J+34902J=47367J=47,367kJ\approx 47,4kJ$   

Ciepło oddane przez gaz obliczymy z zależności, że:

$W_{\text{gazu}}=Q_{\text{pobrane}}-Q_{\text{oddane}}$  

Z tego wynika, że:

$Q_{\text{oddane}}=Q_{\text{pobrane}}-W_{\text{gazu}}$  

Pracę wykonaną przez gaz możemy wyznaczyć z zależności:

$W_{\text{gazu}}=\Delta p\Delta V$  

$W_{\text{gazu}}=\left(2p_1-p_1\right)\left(2V_1-V_1\right)$  

$W_{\text{gazu}}=p_1{V}_1$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$W_{\text{gazu}}=249300Pa\cdot 0,02m^3=4986J$  

Oznacza to, że wartość liczbowa ciepła oddanego będzie wynosiła:

$Q_{\text{oddane }}=47367J-4986J=42381J=42,381kJ\approx 42,4kJ$  

 

$d)$  

W poprzednim podpunkcie obliczyliśmy pracę gazu, która jest równoważna pracy efektywnej:

$W_{\text{efektywna}}=W_{\text{gazu}}=4986J=4,986kJ\approx 5kJ$  

Sprawność silnika obliczymy korzystając z zależności:

$\eta =\frac{W_{\text{gazu}}}{Q_{\text{pobrane}}}$  

Podstawiamy dane liczbowe z podpunktu c):

$\eta =\frac{4986J}{47367J}=0,105\approx 0,11=11\%$