Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$v_{\text{II}p}=\frac{1}{30,7}\cdot v_{\text{II}Z}$   

$d=600km=600\cdot {10}^{3}m=6\cdot {10}^{5}m$   

$v_{\text{II}Z}=11,2\frac{km}{s}=11,2\cdot {10}^3\frac{m}{s}$   

Przyjmujemy, że stała grawitacyjna wynosi:

$G=6,67\cdot {10}^{-11}\frac{m^3}{kg\cdot s^2}$  

Drugą prędkość kosmiczna przedstawiamy wzorem:

$v_{\text{II}}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$  

gdzie G jest stałą grawitacyjną, M jest masą planety/ciała niebieskiego, R jest promieniem planety/ciała niebieskiego. Drugą prędkość kosmiczną dla planetoidy przedstawimy wzorem, z którego wyznaczymy masę planetoidy:

$v_{\text{II}p}=\sqrt{\frac{2G{M}_p}{R_p}}$  

Podnosimy do kwadratu:

$v_{\text{II}p}^2=\frac{2G{M}_p}{R_p}\mid \cdot R_p$ $v_{\text{II}p}^2=\frac{2G{M}_p}{R_p}\mid \cdot R_p$  

$v_{\text{II}p}^2{R}_p=2G{M}_p\mid :2G$  

$\frac{v_{\text{II}p}^2{R}_p}{2G}=M_p$  

Zamieniamy stronami: 

$M_p=\frac{v_{\text{II}p}^2{R}_p}{2G}$  

Wiemy, że masę możemy wyznaczyć korzystając z wzoru na gęstość:

$\rho =\frac{m}{V}\Rightarrow m=\rho \cdot V$  

gdzie ρ jest gęstością, m jest masa , V jest objetością. Planetoide traktujemy jako kulę o promieniu:

$R_p=\frac{1}{2}d$  

Wówczas otrzymujemy, że objętośc planetoidy bedzie miała postać:

$V=\frac{4}{3}\pi R_p^3$  

$V=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{1}{2}d\right)}^3$    

$V=\frac{4}{3}\pi \cdot \frac{1}{8}{d}^3$  

$V=\frac{1}{6}\pi d^3$  

Oznacza to, że masę planetoidy możemty przedstawic wzorem:

$M_p=\rho \cdot V$  

$M_p=\rho \cdot \frac{1}{6}\pi d^3$  

$M_p=\frac{1}{6}\pi d^3\rho$  

Wówczas z wzoru na druga prędkość kosmiczną planetoidy wyznaczamy wzór na gęstość planetoidy:

$M_p=\frac{v_{\text{II}p}^2{R}_p}{2G}$  

$\frac{1}{6}\pi d^3\rho =\frac{v_{\text{II}p}^2\cdot \frac{1}{2}d}{2G}\mid \cdot 6$   

$\pi d^3\rho =\frac{6v_{\text{II}p}^{2}d}{4G}$  

$\pi d^3\rho =\frac{3v_{\text{II}p}^{2}d}{2G}\mid :\pi d^3$  

$\rho =\frac{3v_{\text{II}p}^{2}d}{2\pi G{d}^3}$  

$\rho =\frac{3v_{\text{II}p}^2}{2\pi G{d}^2}$  

$\rho =\frac{3{\left(\frac{1}{30,7}\cdot v_{\text{II}Z}\right)}^2}{2\pi G{d}^2}$  

$\rho =\frac{3\cdot \frac{1}{942,42}\cdot v_{\text{II}Z}^2}{2\pi G{d}^2}$  

$\rho =\frac{3v_{\text{II}Z}^2}{1884,98\cdot \pi G{d}^2}$   

$\rho =\frac{3}{1884,98}\cdot \frac{v_{\text{II}Z}^2}{\pi G{d}^2}$    

$\rho \approx 0,0015915\cdot \frac{v_{\text{II}Z}^2}{\pi G{d}^2}$  

$\rho \approx 1,5915\cdot {10}^{-3}\cdot \frac{v_{\text{II}Z}^2}{\pi G{d}^2}$    

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\rho \approx 1,5915\cdot {10}^{-3}\cdot \frac{{\left(11,2\cdot {10}^3\frac{m}{s}\right)}^2}{3,14\cdot 6,67\cdot {10}^{-11}\frac{m^3}{kg\cdot s^2}\cdot {\left(6\cdot {10}^{5}m\right)}^2}=$  

$=1,5915\cdot {10}^{-3}\cdot \frac{125,44\cdot {10}^6\frac{m^2}{s^2}}{3,14\cdot 6,67\cdot {10}^{-11}\frac{m^3}{kg\cdot s^2}\cdot 36\cdot {10}^{10}{m}^2}=$  

$=1,5915\cdot {10}^{-3}\cdot \frac{125,44\cdot {10}^6\frac{m^2}{s^2}}{753,9768\cdot {10}^{-11+10}\frac{m^5}{kg\cdot s^2}}=$    

$=1,5915\cdot {10}^{-3}\cdot \frac{125,44\cdot {10}^6\frac{m^2}{s^2}}{753,9768\cdot {10}^{-1}\frac{m^5}{kg\cdot s^2}}=$    

$=1,5915\cdot {10}^{-3}\cdot \frac{125,44\cdot {10}^6\frac{m^2}{s^2}}{75,39768\frac{m^5}{kg\cdot s^2}}\approx$    

$\approx 1,5915\cdot {10}^{-3}\cdot 1,6637\cdot {10}^6\frac{kg}{m^3}=2,64777855\cdot {10}^{-3+6}\frac{kg}{m^3}=$   

$=2,64777855\cdot {10}^3\frac{kg}{m^3}=2647,77855\frac{kg}{m^3}\approx 2650\frac{kg}{m^3}$