Wypiszmy dane podane w zadaniu:

${\rho }_1=4,5{\rho }_2$  

$R_2=11,2R_1$  

Wiemy, że pierwszą prędkość kosmiczną przedstawiamy wzorem:

$v_I=\sqrt{\frac{G\cdot M}{R}}$  

gdzie G jest stała grawitacyjną, M jest masą planety, R jest promieniem planety. Dla poszczególnych planet pierwsza prędkość kosmiczna będzie miała postać:

$v_{I1}=\sqrt{\frac{G\cdot M_1}{R_1}}$  

$v_{I2}=\sqrt{\frac{G\cdot M_2}{R_2}}$  

Masę planety możemy przedstawić za pomocą jej gęstości i objętości poprzez skorzystanie z wzoru na gęstość:

$\rho =\frac{m}{V}\Rightarrow m=\rho V$ $\rho =\frac{m}{V}\Rightarrow m=\rho V$  

gdzie ρ jest gęstością, m jest masą, V jest objętością. Przyjmijmy, że planeta jest kulą, wówczas jej objetość opiszemy wzorem:

$V=\frac{4}{3}\pi R^3$  

gdzie R jest objętością. Wówczas otrzymujemy, że masa dla poszczególnych planet ma postać:

$M_1={\rho }_1\cdot \frac{4}{3}\pi R_1^3\Rightarrow M_1=\frac{4}{3}\pi {\rho }_1{R}_1^3$  

$M_2={\rho }_2\cdot \frac{4}{3}\pi R_2^3\Rightarrow M_2=\frac{4}{3}\pi {\rho }_2{R}_2^3$    

Obliczamy stosunek wartości pierwszych prędkości kosmicznych na tych planetach:

$\frac{v_{I2}}{v_{I1}}=\frac{\sqrt{\frac{G\cdot M_2}{R_2}}}{\sqrt{\frac{G\cdot M_1}{R_1}}}$  

$\frac{v_{I2}}{v_{I1}}=\sqrt{\frac{\frac{G\cdot M_2}{R_2}}{\frac{G\cdot M_1}{R_1}}}$  

$\frac{v_{I2}}{v_{I1}}=\sqrt{\frac{G\cdot M_2}{R_2}\cdot \frac{R_1}{G\cdot M_1}}$  

$\frac{v_{I2}}{v_{I1}}=\sqrt{\frac{M_2\cdot R_1}{R_2\cdot M_1}}$  

$\frac{v_{I2}}{v_{I1}}=\sqrt{\frac{\frac{4}{3}\pi {\rho }_2{R}_2^3\cdot R_1}{R_2\cdot \frac{4}{3}\pi {\rho }_1{R}_1^3}}$  

$\frac{v_{I2}}{v_{I1}}=\sqrt{\frac{{\rho }_2{R}_2^2}{{\rho }_1{R}_1^2}}$  

$\frac{v_{I2}}{v_{I1}}=\frac{R_2}{R_1}\sqrt{\frac{{\rho }_2}{{\rho }_1}}$  

$\frac{v_{I2}}{v_{I1}}=\frac{R_2}{R_1}\frac{\sqrt{{\rho }_2}}{\sqrt{{\rho }_1}}$    

$\frac{v_{I2}}{v_{I1}}=\frac{11,2R_1}{R_1}\frac{\sqrt{{\rho }_2}}{\sqrt{4,5{\rho }_2}}$  

$\frac{v_{I2}}{v_{I1}}=\frac{11,2R_1}{R_1}\frac{\sqrt{{\rho }_2}}{\sqrt{4,5}\sqrt{{\rho }_2}}$     

$\frac{v_{I2}}{v_{I1}}=\frac{11,2}{\sqrt{4,5}}$  

$\frac{v_{I2}}{v_{I1}}\approx \frac{11,2}{2,1}$  

$\frac{v_{I2}}{v_{I1}}\approx 5,3$