Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$v_{01}=v_{02}=v_0=20\frac{m}{s}$   

$h_{01}=0$

$h_{02}=H_1=H_{\text{max}}=\frac{v_0^2}{2g}$

 

$a)$

Będziemy korzystać z ogólnych równań dla położenia i prędkości w rzucie pionowym:

$y\left(t\right)=h_0+v_{0}t-\frac{g{t}^2}{2}\text{oraz}v\left(t\right)=v_0-gt$

Wówczas dla poszczególnych ciał otrzymujemy, że równania położenia mają postać:

$y_1\left(t\right)=h_{01}+v_{01}t-\frac{g{t}^2}{2}\Rightarrow y_1\left(t\right)=v_{0}t-\frac{g{t}^2}{2}$

$y_2\left(t\right)=h_{02}-v_{02}t-\frac{g{t}^2}{2}\Rightarrow y_2\left(t\right)=\frac{v_0^2}{2g}-v_{0}t-\frac{g{t}^2}{2}$

Równania prędkości dla poszczególnych ciał będą miały postać:

$v_1\left(t\right)=v_{01}-gt\Rightarrow v_1\left(t\right)=v_0-gt$

$v_2\left(t\right)=-v_{02}-gt\Rightarrow v_2\left(t\right)=-v_0-gt$

Równanie dla drugiego ciała ma przeciwny zwrot wektora prędkości początkowej.

 

$b)$  

Czas, po którym spotkają sie ciała obliczymy korzystając z faktu, że muszą w tym czasie mieć to samo położenia. Możemy wówczas zapisać, że:

$y_1\left(t\right)=y_2\left(t\right)$  

$v_{0}t-\frac{g{t}^2}{2}=\frac{v_0^2}{2g}-v_{0}t-\frac{g{t}^2}{2}\mid +\frac{g{t}^2}{2}$  

$v_{0}t=\frac{v_0^2}{2g}-v_{0}t\mid +v_{0}t$  

$2v_{0}t=\frac{v_0^2}{2g}\mid :2v_0$  

$t=\frac{v_0}{4g}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$t=\frac{20\frac{m}{s}}{4\cdot 10\frac{m}{s^2}}=\frac{20\frac{m}{s}}{40\frac{m}{s^2}}=0,5s$  

 

$c)$  

Wysokość na jakiej nastąpi spotkanie się ciał obliczymy korzystając z faktu, że znamy czas po jakim ciała spotkają się i możemy obliczyć: 

$h=y_1\left(0,5s\right)=20\frac{m}{s}\cdot 0,5s-\frac{10\frac{m}{s^2}\cdot {\left(0,5s\right)}^2}{2}=10m-\frac{10\frac{m}{s^2}\cdot 0,25s^2}{2}=10m-\frac{2,5m}{2}=10m-1,25m=8,75m$  

 

$d)$  

Ciała poruszają się w przeciwnych kierunkach. Wykonujemy rysunek pomocniczy:

Ciała będą miały te same czasy. Możemy więc zapisać, że:

$\left|v_{\text{wzg}}\right|=v_1-v_2$   

$\left|v_{\text{wzg}}\right|=v_0-gt-\left(-v_0-gt\right)$   

$\left|v_{\text{wzg}}\right|=v_0-gt+v_0+gt$  

$\left|v_{\text{wzg}}\right|=2v_0$  

$\left|v_{\text{wzg}}\right|=2\cdot 20\frac{m}{s}=40\frac{m}{s}$