Wykres przedstawia zależność współrzędnej przyspieszenia od czasu....- Zadanie 1.41: Z fizyką w przyszłość. Zbiór zadań. Zakres rozszerzony. Część 1. Po gimnazjum

Rozwiązanie

ANALIZA WYKRESU

Odczytujemy dane z wykresu:

$a_{1} = 0 \frac{m}{s ^{2}}$

$a_{2} = 1 \frac{m}{s ^{2}}$

$a_{3} = 2 \frac{m}{s ^{2}}$

$a_{4} = 1 \frac{m}{s ^{2}}$

$a_{5} = 0 \frac{m}{s ^{2}}$

$a_{6} = 1 \frac{m}{s ^{2}}$

$t_{0} = 0 \frac{m}{s}$

$t_{1} = 3 s$

$t_{2} = 9 s$

$t_{3} = 12 s$

$t_{4} = 15 s$

$t_{5} = 21 s$

$t_{6} = 24 s$

Z danych podanych w zadaniu wiemy, że:

$v_{0} = 0 \frac{m}{s}$

Wiemy, że przyspieszenie ciała wyznaczymy z ogólnego wzoru:

$a = \frac{Δ v}{Δ t} \Rightarrow a = \frac{v _{k} - v _{p}}{t _{k} - t _{p}} \Rightarrow a (t_{k} - t_{p}) = v_{k} - v_{p} \Rightarrow v_{k} = a (t_{k} - t_{p}) + v_{p}$

Gdzie Δv jest zmianą prędkości, Δt jest zmianą czasu, v_k jest współrzędną prędkości końcowej ciała, v_p jest współrzędną prędkości początkowej ciała, t_k jest współrzędną czasu końcowego ciała, t_p jest współrzędną czasu początkowego ciała. Wówczas dla poszczególnych etapów ruchu mamy, że współrzędne położenia wynoszą:

$v_{1} = a_{1} (t_{1} - t_{0}) + v_{0}$

$v_{2} = a_{2} (t_{2} - t_{1}) + v_{1}$

$v_{3} = a_{3} (t_{3} - t_{2}) + v_{2}$

$v_{4} = a_{4} (t_{4} - t_{3}) + v_{3}$

$v_{5} = a_{5} (t_{5} - t_{4}) + v_{4}$

$v_{6} = a_{6} (t_{6} - t_{5}) + v_{5}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzorów:

$v_{1} = 0 \frac{m}{s} \cdot (3 s - 0 s) + 0 \frac{m}{s} = 0 \frac{m}{s} \cdot 3 s + 0 \frac{m}{s} = 0 \frac{m}{s} + 0 \frac{m}{s} = 0 \frac{m}{s}$

$v_{2} = 1 \frac{m}{s} \cdot (9 s - 3 s) + 0 \frac{m}{s} = 1 \frac{m}{s} \cdot 6 s + 0 \frac{m}{s} = 6 \frac{m}{s} + 0 \frac{m}{s} = 6 \frac{m}{s}$

$v_{3} = 2 \frac{m}{s} \cdot (12 s - 9 s) + 6 \frac{m}{s} = 2 \frac{m}{s} \cdot 3 s + 6 \frac{m}{s} = 6 \frac{m}{s} + 6 \frac{m}{s} = 12 \frac{m}{s}$

$v_{4} = 1 \frac{m}{s} \cdot (15 s - 12 s) + 12 \frac{m}{s} = 1 \frac{m}{s} \cdot 3 s + 12 \frac{m}{s} = 3 \frac{m}{s} + 12 \frac{m}{s} = 15 \frac{m}{s}$

$v_{5} = 0 \frac{m}{s} \cdot (21 s - 15 s) + 15 \frac{m}{s} = 0 \frac{m}{s} \cdot 6 s + 15 \frac{m}{s} = 0 \frac{m}{s} + 15 \frac{m}{s} = 15 \frac{m}{s}$

$v_{6} = 1 \frac{m}{s} \cdot (24 s - 21 s) + 15 \frac{m}{s} = 1 \frac{m}{s} \cdot 3 s + 15 \frac{m}{s} = 3 \frac{m}{s} + 15 \frac{m}{s} = 18 \frac{m}{s}$

$a)$

$b)$

Wiemy, że drogę przebytą przez ciało można obliczyć korzystając z faktu, że jest ona polem pod/nad wykresem funkcji prędkości od czasu. Ograniczeniem jest zawsze oś x. Jeśli mamy pole nad wykresem wówczas ciało cofa się, jeśli mamy do czynienia z polem pod wykresem wówczas ciało porusza się do przodu. Wykonujemy rysunek pomocniczy dla naszego przypadku:

Wówczas całkowita droga przebyta przez ciało od końca 12 s do końca 15 s wynosi:

$s = P3 = \frac{1}{2} \cdot 3 s \cdot 3 \frac{m}{s} + 3 s \cdot 12 \frac{m}{s} = 4, 5 m + 36 m = 40, 5 m$

$s = 40, 5 m$

$c)$

Z rysunku w podpunkcie b) obliczamy drogę przebytą przez ciało w szóstej sekundzie ruchu:

$s = \frac{1}{2} \cdot 1 s \cdot 1 \frac{m}{s} + 1 s \cdot 2 \frac{m}{s} = 0, 5 m + 2 m = 2, 5 m$

$d)$

Średnia szybkość ciała od końca 3 sekundy do końca 24 sekundy będzie wyrażać sie wzorem:

$v = \frac{Δ s}{Δ t}$

gdzie korzystając z rysunku w podpunkcie b) otrzymujemy, że:

$Δ s = P1 + P2 + P3 + P4 + P5$

$Δ t = 21 s$

Obliczamy pola poszczególnych figur:

$P1 = \frac{1}{2} \cdot 6 s \cdot 6 \frac{m}{s} = 18 m$

$P2 = \frac{1}{2} \cdot 3 s \cdot 6 \frac{m}{s} + 3 s \cdot 6 \frac{m}{s} = 9 m + 18 m = 27 m$

$P3 = \frac{1}{2} \cdot 3 s \cdot 3 \frac{m}{s} + 3 s \cdot 12 \frac{m}{s} = 4, 5 m + 36 m = 40, 5 m$

$P4 = 6 s \cdot 15 \frac{m}{s} = 90 m$

$P5 = \frac{1}{2} \cdot 3 s \cdot 3 \frac{m}{s} + 3 s \cdot 15 \frac{m}{s} = 4, 5 m + 45 m = 49, 5 m$

Wówczas całkowita droga wynosi:

$Δ s = 18 m + 27 m + 40.5 m + 90 m + 49, 5 m = 225 m$

Obliczamy średnia szybkość:

$v = \frac{225 m}{21 s} = 10, 7143 \frac{m}{s} \approx 10, 7 \frac{m}{s}$

Ewelina Wysopal

Nauczycielka fizyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.