Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$V_1=\frac{1}{5}V$  

$V_2=\frac{1}{2}V$

${\rho }_r=13,6\cdot {10}^3\frac{kg}{m^3}$  

Siłę wyporu przedstawiamy wzorem:

$F_w=\rho gV$  

gdzie F_w jest siłą wyporu cieczy o gęstości ρ, która zajmuje objętość V i działa na nią przyspieszenie ziemskie g. Siła wyporu dla pierwszego sześcinu będzie miała postać:

$F_{w1}={\rho }_{r}g{V}_1$  

Natomiast siła wyporu, gdy na sześcian położymy drugi o takiej samej objetości będzie miała postać:

$F_{w2}={\rho }_{r}g{V}_2$  

Siłę ciężkości przedstawiamy wzorem:

$F_g=mg$  

gdzie m jest masą ciała, g jest przyspieszeniem ziemskim. Siłę ciężkości pierwszego sześcianu przedstawimy wzorem:\

$F_{g1}=m_{1}g$  

Siłę ciężkości drugiego sześcianu przedstawimy wzorem:

$F_{g2}=m_{2}g$

Masę ciała możemy wyznaczyć korzystając z wzoru na gęstość:

$\rho =\frac{m}{V}\Rightarrow m=\rho V$  

gdzie m jest masą, ρ jest gęstością, V jest objetością. Wówczas masę pierwszego sześciamu możemy przedstawić wzorem:

$m_1={\rho }_{s1}V$  

Masę drugiego sześcianu przedstawimy wzorem:

$m_2={\rho }_{s2}V$  

Wiemy, że na pierwszy sześcian znajdujący się w rtęci działa siła wyporu, która równoważy siłę ciężkości. Możemy zatem zapisać równanie, z którego wyznaczymy gęstość pierwszego sześcianu:

$F_w=F_g$  

${\rho }_{r}g{V}_1=m_{1}g\mid :g$  

${\rho }_r{V}_1=m_1$  

${\rho }_r{V}_1={\rho }_{s1}V$  

${\rho }_r\frac{1}{5}V={\rho }_{s1}V\mid :V$  

$\frac{1}{5}{\rho }_r={\rho }_{s1}$  

Zamieniamy stronami:

${\rho }_{s1}=\frac{1}{5}{\rho }_r$  

Następnie zapisujemy równanie sił działających na dwa sześciany, przy czym pierwszy zanurzony jest na połowę objętości i wyznaczamy gęstość drugiego sześcianu:

$F_{w2}=F_{g1}+F_{g2}$  

${\rho }_{r}g{V}_2=m_{1}g+m_{2}g\mid :g$  

${\rho }_r{V}_2=m_1+m_2$  

${\rho }_r\frac{1}{2}V={\rho }_{s1}V+{\rho }_{s2}V\mid :V$  

$\frac{1}{2}{\rho }_r={\rho }_{s1}+{\rho }_{s2}$  

$\frac{1}{2}{\rho }_r=\frac{1}{5}{\rho }_r+{\rho }_{s2}\mid -\frac{1}{5}{\rho }_r$  

$\frac{1}{2}{\rho }_r-\frac{1}{5}{\rho }_r={\rho }_{s2}$  

Zamieniamy stronami:

${\rho }_{s2}=\frac{1}{2}{\rho }_r-\frac{1}{5}{\rho }_r$  

${\rho }_{s2}=\frac{5}{10}{\rho }_r-\frac{2}{10}{\rho }_r$  

${\rho }_{s2}=\frac{3}{10}{\rho }_r$  

${\rho }_{s2}=0,3{\rho }_r$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

${\rho }_{s2}=0,3\cdot 13,6\cdot {10}^3\frac{kg}{m^3}=4,08\cdot {10}^3\frac{kg}{m^3}\approx 4\cdot {10}^3\frac{kg}{m^3}$