Na nici o długości l = 1 m...- Zadanie 2: Z fizyką w przyszłość. Zakres rozszerzony. Część 1. Po gimnazjum

Rozwiązanie

Dane:

$l = 1 m$

$m_{1} = 0, 05 kg$

$m_{2} = 0, 01 kg$

$v = 3 \frac{m}{s}$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g = 10 \frac{m}{s ^{2}}$ .

$a)$

Mała kulka z plasteliny porusza się ze stałą prędkością, czyli posiada energię kinetyczną. Uderzając w drugą kulkę zatrzymuje się oddając energię dużej kulce, co powoduje odchylenie się jej i wzniesienie na pewną wysokość, czyli energia kinetyczna małej kulki zamieniła się w energię potencjalną dużej kulki. W tym zderzeniu mamy do czynienia ze spełnieniem zasady zachowania energii.

$b)$

Naszym zadaniem jest obliczenie, o jaki kąt odchyli się nić po sklejeniu się kulek.

Wiemy, że pęd ciała opisujemy wzorem:

$p = m v$

gdzie p jest pędem ciała o masie m poruszającego się z prędkością v. Mała kulka będzie posiadała pęd:

$p_{2} = m_{2} v$

Natomiast po zderzeniu się kulek pęd układu będzie miał postać:

$p_{1} = (m_{1} + m_{2}) v_{1}$

Wówczas korzystając z zasady zachowania pędu wyznaczmy prędkość jaką miały kulki po zderzeniu się:

$p_{1} = p_{2}$

$(m_{1} + m_{2}) v_{1} = m_{2} v ∣ : (m_{1} + m_{2})$

$v_{1} = \frac{m _{2}}{m _{1} + m _{2}} v$

Wiemy, że energię kinetyczną przedstawiamy wzorem:

$E_{k} = \frac{m v ^{2}}{2}$

gdzie E_k jest energią kinetyczną ciała o masie m poruszającego się z prędkością v. Wówczas dla naszego przypadku mamy, że energia kinetyczna kulek po zderzeniu będzie miała postać:

$E_{k 1} = \frac{( m _{1} + m _{2} ) v _{1}^{2}}{2}$

Natomiast energia kinetyczna kulek po wzniesieniu się na pewną maksymalną wysokość będzie miała postać:

$E_{k 2} = \frac{( m _{1} + m _{2} ) \cdot 0 ^{2}}{2} \Rightarrow E_{k 2} = 0$

Energię potencjalną przedstawiamy wzorem:

$E_{p} = m g h$

gdzie E_p jest energią potencjalną ciała o masie m znajdującego się na wysokości h, na które działa przyspieszenie ziemskie g. Wówczas energia potencjalna kulek na wysokości zderzenia będzie miała postać:

$E_{p 1} = (m_{1} + m_{2}) g \cdot 0 \Rightarrow E_{p 1} = 0$

Natomiast energia potencjalna na wysokości, na którą wzniosą się kulki będzie miała postać:

$E_{p 2} = (m_{1} + m_{2}) g h$

Wówczas korzystając z zasady zachowania energii otrzymujemy równanie, z którego wyznaczamy wysokość na jaką wzniosły się kulki:

$E_{p 1} + E_{k 1} = E_{p 2} + E_{k 2}$

$0 + \frac{( m _{1} + m _{2} ) v _{1}^{2}}{2} = (m_{1} + m_{2}) g h + 0$

$\frac{( m _{1} + m _{2} ) v _{1}^{2}}{2} = (m_{1} + m_{2}) g h ∣ : (m_{1} + m_{2})$

$\frac{v _{1}^{2}}{2} = g h ∣ : g$

$\frac{v _{1}^{2}}{2 g} = h$

Zamieniamy stronami:

$h = \frac{v _{1}^{2}}{2 g}$

$h = \frac{( \frac{m _{2}}{m _{1} + m _{2}} v ) ^{2}}{2 g}$

$h = \frac{\frac{m _{2}^{2}}{( m _{1} + m _{2} ) ^{2}} v ^{2}}{2 g}$

$h = \frac{m _{2}^{2} v ^{2}}{2 g ( m _{1} + m _{2} ) ^{2}}$

$h = \frac{( m _{2} v ) ^{2}}{2 g ( m _{1} + m _{2} ) ^{2}}$

Następnie korzystając z funkcji trygonometrycznych i rysunku załączonego do zadania możemy zapisać, że:

$cos α = \frac{l - h}{l}$

$cos α = \frac{l - \frac{( m _{2} v ) ^{2}}{2 g ( m _{1} + m _{2} ) ^{2}}}{l}$

$cos α = 1 - \frac{\frac{( m _{2} v ) ^{2}}{2 g ( m _{1} + m _{2} ) ^{2}}}{l}$

$cos α = 1 - \frac{( m _{2} v ) ^{2}}{2 g l ( m _{1} + m _{2} ) ^{2}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$cos α = 1 - \frac{( 0 , 01 k g - 3 \frac{m}{s} ) ^{2}}{2 \cdot 10 \frac{m}{s ^{2}} \cdot 1 m \cdot ( 0 , 05 k g + 0 , 01 k g ) ^{2}} = 1 - \frac{( 0 , 03 k g \cdot \frac{m}{s} ) ^{2}}{20 \frac{m ^{2}}{s ^{2}} \cdot ( 0 , 06 k g ) ^{2}} = 1 - \frac{0 , 0009 k g ^{2} \cdot \frac{m ^{2}}{s ^{2}}}{20 \frac{m ^{2}}{s ^{2}} \cdot 0 , 0036 k g ^{2}} =$

$= 1 - \frac{0 , 0009 k g ^{2} \cdot \frac{m ^{2}}{s ^{2}}}{0 , 072 k g \cdot \frac{m ^{2}}{s ^{2}}} = 1 - 0, 0125 = 0, 9875$

Z tablic trygonometrycznych odczytujemy, że:

$cos 9^{\circ} = 0, 9877$

Nasz otrzymany wynik to:

$cos α = 0, 9875$

Możemy zatem przyjąć, że:

$α \approx 9^{\circ}$

$c)$

Strata energii w naszym przypadku jest różnicą energii kinetycznej lecącej kulki i energii kinetycznej kulek ze sobą sklejonych:

$Δ E_{m} = E_{k 0} - E_{k 1}$

gdzie energię kinetyczną lecącej kulki wyrazimy wzorem:

$E_{k 0} = \frac{m _{2} v ^{2}}{2}$

Wówczas otrzymujemy, że strata energii mechanicznej wynosi:

$Δ E_{m} = \frac{m _{2} v ^{2}}{2} - \frac{( m _{1} + m _{2} ) v _{1}^{2}}{2}$

$Δ E_{m} = \frac{m _{2} v ^{2}}{2} - \frac{( m _{1} + m _{2} ) ( \frac{m _{2}}{m _{1} + m _{2}} v ) ^{2}}{2}$

$Δ E_{m} = \frac{m _{2} v ^{2}}{2} - \frac{( m _{1} + m _{2} ) \frac{m _{2}^{2}}{( m _{1} + m _{2} ) ^{2}} v ^{2}}{2}$

$Δ E_{m} = \frac{m _{2} v ^{2}}{2} - \frac{\frac{m _{2}^{2}}{m _{1} + m _{2}} v ^{2}}{2}$

$Δ E_{m} = \frac{m _{2} v ^{2}}{2} - \frac{m _{2}^{2} v ^{2}}{2 ( m _{1} + m _{2} ) ^{2}}$

$Δ E_{m} = \frac{m _{2} ( m _{1} + m _{2} ) v ^{2}}{2 ( m _{1} + m _{2} )} - \frac{m _{2}^{2} v ^{2}}{2 ( m _{1} + m _{2} )}$

$Δ E_{m} = \frac{( m _{1} m _{2} + m _{2}^{2} ) v ^{2}}{2 ( m _{1} + m _{2} )} - \frac{m _{2}^{2} v ^{2}}{2 ( m _{1} + m _{2} )}$

$Δ E_{m} = \frac{( m _{1} m _{2} + m _{2}^{2} ) v ^{2} - m _{2}^{2} v ^{2}}{2 ( m _{1} + m _{2} )}$

$Δ E_{m} = \frac{( m _{1} m _{2} + m _{2}^{2} - m _{2}^{2} ) v ^{2}}{2 ( m _{1} + m _{2} )}$

$Δ E_{m} = \frac{m _{1} m _{2} v ^{2}}{2 ( m _{1} + m _{2} )}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$Δ E_{m} = \frac{0 , 5 kg \cdot 0 , 01 kg \cdot ( 3 \frac{m}{s} ) ^{2}}{2 \cdot ( 0 , 05 kg + 0 , 01 kg )} =$

$= \frac{0 , 0005 kg ^{2} \cdot 9 \frac{m ^{2}}{s ^{2}}}{2 \cdot 0 , 06 kg} = \frac{0 , 045 kg ^{2} \cdot \frac{m ^{2}}{s ^{2}}}{0 , 12 kg} =$

$= 0, 0375 kg \cdot \frac{m ^{2}}{s ^{2}} = 0, 0375 J \approx 0, 04 J$

Ewelina Wysopal

Nauczycielka fizyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.