Dane:

$\mu =8\frac{\text{g}}{\text{m}}=8\cdot \frac{0,001\text{kg}}{\text{m}}=0,008\frac{\text{kg}}{\text{m}}$

$m=1,2\text{kg}$

$f=82\text{Hz}$

$n=20$

$t=39\text{s}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ przybliżona wartość liczby pi: $\pi =3,14$ .

Szukane:

$g=?$  

Rozwiązanie:

Na początek rozpatrzmy przypadek kiedy mamy do czynienia z wahadłem matematycznym. Okres ruchu drgań wahadła matematycznego przedstawiamy wzorem:

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$  

gdzie:

$T$  - okres drgań wahadła,

$\pi$  - liczba π (pi),

$l$  - długość wahadła,

$g$  - wartość przyspieszenia ziemskiego działającego na wahadło.

Wyznaczmy długość tego wahadła przekształcając powyższy wzór:

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\mid {}^2$

$T^2=4{\pi }^2\frac{l}{g}\mid \cdot \frac{g}{4{\pi }^2}$

$l=\frac{T^{2}g}{4{\pi }^2}$

Okres drgań wahadła możemy wyznaczyć z wzoru:

$T=\frac{1}{f{}^{\prime }}$

gdzie:

  $f{}^{\prime }$  - częstotliwość drgań wahadła.

Częstotliwość dowolnego cyklu możemy przedstawić jako iloraz liczby powtarzających się w nim zdarzeń do całkowitego czasu trwania tych zdarzeń:

$f{}^{\prime }=\frac{n}{t}$  

gdzie:

$f{}^{\prime }$  - częstotliwość, 

$n$  - liczba cykli, 

$t$  - czas trwania tych cykli. 

Podstawiamy zależność do wzoru na okres drgań:

$T=\frac{1}{\frac{n}{t}}$  

$T=\frac{t}{n}$  

Oznacza to, że wzór na długość wahadła ma postać:

$l=\frac{{\left(\frac{t}{n}\right)}^{2}g}{4{\pi }^2}$

$l=\frac{g{t}^2}{4{\pi }^2{n}^2}$

Rozpatrzmy teraz nasz przypadek jako ruch drgający. Wiemy wówczas, że długość fali wytworzonej przez drut będzie miała postać:

$\lambda =\frac{1}{2}l$

Wynika to z faktu, że bloczek znajduje się w połowie długości drutu oraz powstały na nim 3 węzły i 2 strzałki (rysunek pomocniczy):

Długość fali możemy przedstawić wzorem:

$\lambda =\frac{v}{f}$  

gdzie:

$\lambda$  - długość fali,

$v$  - wartość prędkości, z jaką rozchodzi się fala,

$f$  - częstotliwość rozchodzącej się fali.

Skorzystajmy ze wzoru na prędkość fali poprzecznej w strunach i drutach:

$v=\sqrt{\frac{F_c}{\mu }}$  

gdzie:

$F_c$  - siła naciągająca drut (w naszym przypadku siła ciężkości),

$\mu$  - gęstość liniowa metalu, z którego wykonano drut.

Wartość siły ciężkości możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$F_c=mg$  

gdzie:

$m$  - masa ciała.

Możemy więc podstawić:

$v=\sqrt{\frac{mg}{\mu }}$  

W ten sposób otrzymujemy wzór na długość fali, który ma postać:

$\lambda =\frac{\sqrt{\frac{mg}{\mu }}}{f}$

Porównajmy teraz otrzymany wzór na długość fali z zależnością długości fali wynikającą z zadania:

$\frac{\sqrt{\frac{mg}{\mu }}}{f}=\frac{1}{2}l$

Przekształćmy otrzymaną zależność tak, aby wyznaczyć przyspieszenie:

$\frac{\sqrt{\frac{mg}{\mu }}}{f}=\frac{1}{2}l\mid {}^2$

$\frac{\frac{mg}{\mu }}{f^2}=\frac{l^2}{4}$

Wymnażamy na krzyż:

$4\cdot \frac{mg}{\mu }=f^2{l}^2\mid \cdot \frac{\mu }{4m}$

$g=\frac{\mu f^2{l}^2}{4m}$

Podstawiamy wyznaczoną wcześniej wartość długości drutu:

$g=\frac{\mu f^2{\left(\frac{g{t}^2}{4{\pi }^2{n}^2}\right)}^2}{4m}$

$g=\frac{\mu f^2}{4m}\cdot \frac{g^2{t}^4}{16{\pi }^4{n}^4}$

$g=\frac{\mu f^2{t}^4{g}^2}{64{\pi }^{4}m{n}^4}\mid :g$

$1=\frac{\mu f^2{t}^4}{64{\pi }^{4}m{n}^4}\cdot g\mid \cdot 64{\pi }^{4}m{n}^4$

$64{\pi }^{4}m{n}^4=\mu f^2{t}^{4}g\mid :\mu f^2{t}^4$

$g=\frac{64{\pi }^{4}m{n}^4}{\mu f^2{t}^4}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$g=\frac{64\cdot {3,14}^4\cdot 1,2\text{kg}\cdot {20}^4}{0,008\frac{\text{kg}}{\text{m}}\cdot {\left(82\text{Hz}\right)}^2\cdot {\left(39\text{s}\right)}^4}=$

$=\frac{64\cdot 97,21171216\cdot 1,2\text{kg}\cdot \stackrel{40000}{\sout{160000}}}{0,008\frac{\text{kg}}{\text{m}}\cdot \underset{1681}{\sout{6724}}{\left(\frac{1}{\text{s}}\right)}^2\cdot 2313441{\text{s}}^4}=$

$=\frac{64\cdot 97,21171216\cdot 1,2\text{kg}\cdot 40000}{0,008\frac{\text{kg}}{\text{m}}\cdot 1681\frac{1}{{\text{s}}^2}\cdot 2313441{\text{s}}^4}\approx$

$\approx \frac{298634380\text{kg}}{31111155\text{kg}\cdot \frac{{\text{s}}^2}{\text{m}}}\approx 9,6\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$

Odpowiedź: Wartość przyspieszenia grawitacyjnego obliczona na podstawie danych zebranych przez uczniów wynosi około 9,6 m/s².

UWAGA! Otrzymany wynik różni się od podanego w zbiorze zadań w wyniku przyjętych przybliżeń liczby π.