W 1993 r. Russell Hulse i Joseph Taylor otrzymali... 4.57 gwiazdek na podstawie 7 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Fizyka

W 1993 r. Russell Hulse i Joseph Taylor otrzymali...

Zadanie 3. Układ podwójny
 Zadanie

Wypiszmy dane podane w zadaniu:

 

 

 

 

 

 

 

Znamy minimalną rmin i maksymalną rmax odległość gwiazd od siebie. Wówczas korzystając z rysunku możemy wywnioskować, że odległość pulsara od środka masy, gdy znajduje się on w perycentrum i apocentrum odpowiednio wynosi:

 

Podstawiamy dane do wzorów:

 

   

Wykonajmy uproszczony rysunek elipsy:

gdzie c jest długością ogniskowej elipsy, a jest długością półosi wielkiej elipsy, b jest długością półosi małej elipsy, rp jest najmniejszą odległością planety od gwiazdy (peryhelium), ra jest największą odległością planety od gwiazdy (aphelium). Korzystając z rysunku zauważmy, że:

 

 

Wówczas otrzymujemy, że:

 

 

Porównajmy wzory na ogniskową elipsy i wyznaczmy długość półosi wielkiej elipsy:

 

 

 

 

 

 

Podstawiamy dane do wzoru:

 

 

  

Przyjmujemy, że:

 

Drugie prawo Keplera wynika z prawa zachowania momentu pędu dla planety w trakcie jej ruchu wokół Słońca. Wzór na moment pędu planety ma postać:

 

gdzie r jest jej promieniem, m jest jej masą, v jest prędkością z jaką się porusza. Z tego wynika, że moment pędu planety znajdującej się najbliżej Słońca wynosi:
 

Natomiast moment pędu planety znajdującej się najdalej Słońca wynosi:
 

Korzystając z zasady zachowania momentu pędu otrzymujemy, że:
 

 

 

 

 

Wiemy, że gwiazda ma najmniejszą prędkość w swoim apocentrum. Wówczas dla naszego przypadku otrzymujemy, że:

 

 

 

 

Podstawiamy dane do wzoru:

 

 

 

Wartość natężenia pola grawitacyjnego wytworzonego przez ciało o masie M można zapisać, za pomocą wzoru:

 

gdzie γ jest wartością natężenia pola grawitacyjnego wytworzonego przez ciało o masie M w odległości r od tego ciała, G jest stałą grawitacyjną. Wówczas dla pierwszej gwiazdy otrzymujemy, że natężenie jej pola będzie miało postać:

 

Dla drugiej gwiazdy wartość natężenia będzie miała postać:

 

Wiemy, że natężenie jest wielkością wektorową. Natężenie pola pochodzące od poszczególnych gwiazd w środku masy układu będzie miało taki sam kierunek lecz przeciwne zwroty:

 

 

Z treści zadania wiemy, że obie gwiazdy mają podobne masy oraz ich odległości od środka masy są takie same:

 

 

Wówczas korzystając z zasady superpozycji natężeń pól grawitacyjnych otrzymujemy, że:

 

 

 

 

 

Co należało wykazać.

 

 

W podpunkcie podane mamy, że:

 

Wówczas masa jednej gwiazdy będzie wynosiła:

 

 

 

Najdalsza odległość od środka masy będzie wynosiła:

 

 

 

 

Przyjmujemy, że stała grawitacji wynosi:

 

Potencjałem pola grawitacyjnego V(r) w danym punkcie pola nazywamy iloraz energii potencjalnej ciała umieszczonego w tym punkcie i jego masy:

 

gdzie V(r) jest potencjałem, Ep jest energia potencjalną, m jest masą ciała umieszczonego w punkcie, w którym badamy potencjał ciała. Z tego wynika, że energia potencjalna gwiazd krążących wokół wspólnego środka masy będzie miała postać:

 

Potencjał pola grawitacyjnego V(r) w danym punkcie przedstawiamy za pomocą wzoru:

 

gdzie G jest stałą grawitacji, V(r) jest potencjałem pola grawitacyjnego pochodzącym od ciała o masie M w odległości r od tego ciał. Z tego wynika, że energia potencjalna układu będzie miała postać:

 

 

 

Wiemy, że praca zostaje wykona nad układem, a nie przez układ, dlatego możemy przyjąć, że: 

Wówczas energia potencjalna gwiazd znajdujących się w najodleglejszym punkcie od środka masy na orbicie ma postać:

  

Energię kinetyczną ciała przedstawiamy za pomocą wzoru:

 

gdzie Ek jest energią kinetyczną ciała o masie m poruszającego się z prędkością v.  Energia kinetyczna pierwszej gwiazdy na orbicie w najodleglejszym punkcie od środka masy będzie wynosiła:

 

Dla drugiej:

 

Wówczas całkowita energia mechaniczna układu wynosi:

 

Minimalna praca jaką należy wykonać jest musi przeciwdziałać całkowitej energii mechanicznej układu. Praca zostaje wykona nad układem, a nie przez układ, dlatego możemy przyjąć, że:

 

 

 

 

 

 

Wiemy, że:

 

Wówczas:

 

 

 

 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

 

 

 

 

DYSKUSJA
klasa:
Informacje
Autorzy: Bogdan Mendel, Janusz Mendel, Teresa Stolecka, Elżbieta Wójtowicz
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
ISBN: 9788326710711
Autor rozwiązania
user profile

Nauczyciel

Wiedza
Dzielniki

Dzielnik liczby to taka liczba, przez którą dana liczba jest podzielna. Dzielnikiem każdej liczby naturalnej n (n>1) jest 1 oraz ona sama.

Inaczej mówiąc, dzielnikiem liczby naturalnej  `n`  nazywamy taką liczbę naturalną  `m`, że  `n=k*m` `k`   jest liczbą naturalną. 


Przykład:

10 dzieli się przez 1, 2, 5 i 10. Wynika z tego, że dzielnikami liczby 10 są liczby 1, 2, 5 i 10.

Możemy też powiedzieć, że:

  • 1 jest dzielnikiem 10 bo  `10=10*1`   
  • 2 jest dzielnikiem 10 bo  `10=5*2`  
  • 5 jest dzielnikiem 10 bo  `10=2*5`  
  • 10 jest dzielnikiem 10 bo  `10=1*10`  


Uwaga!!! 

Jeżeli liczba naturalna `m`  jest dzielnikiem liczby `n` , to liczba `n`  jest wielokrotnością liczby `m` .

Przykład:

Liczba 2 jest dzielnikiem liczby 10, czyli liczba 10 jest wielokrotnością liczby 2.


Dowolną liczbę naturalną n większą od 1 (n>1), która ma tylko dwa dzielniki, 1 oraz samą siebie, nazywamy liczbą pierwszą.

Liczbami pierwszymi są liczby: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...

Liczbę naturalną n (n>1) niebędącą liczbą pierwszą, czyli posiadającą więcej niż dwa dzielniki, nazywamy liczbą złożoną.

Liczbami złożonymi są: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18...


Zapamiętaj!!!

Liczby 0 i 1 nie są ani liczbami pierwszymi ani złożonymi. 

 
Oś liczbowa

Oś liczbowa to prosta, na której każdemu punktowi jest przypisana dana wartość liczbowa, zwana jego współrzędną.

Przykład:

osie liczbowe

Odcinek jednostkowy na tej osi to część prostej między -1 i 0.

Po prawej stronie od 0 znajduje się zbiór liczb nieujemnych, a po lewej zbiór liczb niedodatnich. Grot strzałki wskazuje, że w prawą stronę rosną wartości współrzędnych. Oznacza to, że wśród wybranych dwóch współrzędnych większą wartość ma ta, która leży po prawej stronie (względem drugiej współrzędnej).

Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom