🎓 Księżyc okrąża Ziemię po orbicie... - Zadanie Zadanie 4. Układ Słoneczny: Zrozumieć fizykę. Zbiór zadań 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum - strona 192
Fizyka
Zrozumieć fizykę. Zbiór zadań 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum (Zbiór zadań, Nowa Era)

Księżyc okrąża Ziemię po orbicie...

Zadanie 4. Układ Słoneczny
 Zadanie

Wypiszmy dane podane w zadaniu:

 

 

 

 

 

Przyjmujemy, że stała grawitacji wynosi:

 

 

 

Siłę grawitacji przedstawiamy wzorem:

 

gdzie G jest stałą grawitacji, m1 i m2 są oddziałującymi ze sobą masami, r jest odległością pomiędzy środkami tych mas. Siła przyciągania pomiędzy Ziemią, a Księżycem na początku istnienia Układu Słonecznego wynosiła:

 

Siła przyciągania pomiędzy Ziemią, a Księżycem obecnie wynosi:

 

W zadaniu pytamy o ile zmalała ta siła. Obliczmy iloraz siły na początku istnienia i siły przyciągania obecnie:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Siła ta zmalała około 6,4 razy.

 

 

Siła odśrodkowa poruszającego się Księżyca po orbicie Ziemi będzie równoważyła siłę grawitacji pomiędzy Ziemią, a Księżycem na początku istnienia Układu Słonecznego. Siłę odśrodkową przedstawiamy za pomocą wzoru:

 

gdzie Fod jest siłą odśrodkową działającą na ciało o masie m poruszające się z prędkością liniową po okręgu o promieniu r. Wówczas siła odśrodkowa działająca na Księżyc będzie miała postać:

 

Prędkość liniową w zależności od prędkości kątowej przedstawiamy wzorem:

 

gdzie v jest prędkością liniową ciała, ω jest prędkością kątową ciała, r jest promieniem okręgu po jakim porusza się ciało. Wówczas prędkość liniową Księżyca możemy przedstawić wzorem:

 

Prędkość kątową ciała w zależności od okresu jego ruchu przedstawiamy wzorem:

 

gdzie ω jest prędkością kątową, T jest okresem ruchu ciała. Porównując siły otrzymujemy równanie, z którego wyznaczamy okres obiegu Księżyca na początku istnienia Układu Słonecznego:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

 

 

 

  

 

Wartość natężenia pola grawitacyjnego wytworzonego przez ciało o masie M można zapisać, za pomocą wzoru:

 

gdzie γ jest wartością natężenia pola grawitacyjnego wytworzonego przez ciało o masie M w odległości r od tego ciała, G jest stałą grawitacyjną. Na początku istnienia Układu Słonecznego natężenie pola grawitacyjnego pochodzące od Ziemi wynosi:

 

Na początku istnienia Układu Słonecznego natężenie pola grawitacyjnego pochodzące od Księżyca wynosi:

  

Korzystając z zasady superpozycji natężeń pól grawitacyjnych na początku istnienia wszechświata wynosi:

 

 

Dla obecnych czasów natężenia pola pochodzące od Ziemi i Księżyca będą odpowiednio wynosić:

 

  

Wówczas natężenie pola wynosi:

 

 

Zbadajmy, czy możemy postawić znak równości pomiędzy natężeniami:

  

  

  

  

Z tego wynika, że:

 

 

 

 

Wiemy, że:

 

Z tego wynika, że:

  

Zmiana odległości Ziemia - Księżyc zmieniła wartość natężenia pola grawitacyjnego. 

 

 

Przyspieszenie przedmiotu w punkcie P jest równe wypadkowemu natężeniu pola w tym punkcie. Otrzymujemy wówczas, że przyspieszenie ciała w punkcie P na początku istnienia Układu Słonecznego będzie miało postać:

 

 

 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

 

 

 

 

Przyspieszenie ciała w punkcie P obecnie będzie miało postać:

 

 

 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

 

 

 

 

Porównajmy przyspieszenia tych przedmiotów:

 

   

Z tego wynika, że przyspieszenie przedmiotu znajdującego się obecnie w punkcie P jest około 1,5 razy większe niż przyspieszenie tego przedmiotu na początku istnienia Układu Słonecznego.

 

  

W zadaniu podane mamy, że:

 

Zakładamy, że całkowita energia zdetonowanej bomby wpływa na Księżyc. Potencjałem pola grawitacyjnego V(r) w danym punkcie pola nazywamy iloraz energii potencjalnej ciała umieszczonego w tym punkcie i jego masy:

 

gdzie V(r) jest potencjałem, Ep jest energia potencjalną, m jest masą ciała umieszczonego w punkcie, w którym badamy potencjał ciała. Z tego wynika, że energia potencjalna gwiazd krążących wokół wspólnego środka masy będzie miała postać:

 

Potencjał pola grawitacyjnego V(r) w danym punkcie przedstawiamy za pomocą wzoru:

 

gdzie G jest stałą grawitacji, V(r) jest potencjałem pola grawitacyjnego pochodzącym od ciała o masie M w odległości r od tego ciał. Z tego wynika, że energia potencjalna układu będzie miała postać:

 

 

Wówczas praca wykonana przez bombę przy zmianie orbity Księżyca powinna być równa jego zmianie energii potencjalnej. Energia potencjalna układu Ziemia - Księżyc przed wybuchem bomby wynosi: 

 

Energia potencjalna układu Ziemia - Księżyc po wybuchu bomby wynosiłaby:

 

gdzie r3 jest nowym promieniem orbity po wybuchu. Wówczas zakładając, tak jak na początku, że całkowita energia wybuchu zostaje zużyta na zmianę energii potencjalnej Księżyca otrzymujemy, że:

 

 

 

 

 

Wyznaczmy z tego równanie nową orbitę Księżyca:

 

 

 

 

 

 

 

 Z tego wynika, że:

 

Wartość odległości na jaką został oddalony księżyc po wybuchy będzie wynosiła:

 

 

 

 

 

 

 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

  

 

 

Z tego wynika, że zmiana odległości jest tak mała, że możemy ją pominąć. Zwróćmy uwagę na fakt, że zostało przyjęte, że cała energia wybuchu została zamieniona na pracę, która zmieni położenie Księżyca. Pominięto fakt, że energia w trakcie wybuchu zostanie wytracona na chociażby ciepło wydzielone przy wybuchu. Oznacza to, że orbita Księżyca nie zwiększy się na skutek takiej eksplozji. 

DYSKUSJA
komentarz do zadania undefined
Maciej

12 czerwca 2018
Dziena 👍
opinia do rozwiązania undefined
Łysy

29 grudnia 2017
dzięki :)
klasa:
II liceum
Informacje
Autorzy: Bogdan Mendel, Janusz Mendel, Teresa Stolecka, Elżbieta Wójtowicz
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
ISBN: 9788326710711
Autor rozwiązania
user profile

Nauczyciel

Nauczycielka fizyki w liceum z 2-letnim doświadczeniem oraz matematyki w szkole podstawowej z 4-letnim doświadczeniem. Uwielbiam podróże oraz gry planszowe.

Wiedza
Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY4192ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA5968WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE403KOMENTARZY
komentarze
... i5514razy podziękowaliście
Autorom