Księżyc okrąża Ziemię po orbicie...- Zadanie Zadanie 4. Układ Słoneczny: Zrozumieć fizykę. Zbiór zadań 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$r_{1} = 15 \cdot 10^{7} m$

$r_{2} = 38 \cdot 10^{7} m$

$M_{Z} = 6 \cdot 10^{24} k g$

$M_{K} = 7, 35 \cdot 10^{22} k g$

$R = 45 \cdot 10^{7} m$

Przyjmujemy, że stała grawitacji wynosi:

$G = 6, 67 \cdot 10^{- 11} \frac{N \cdot m ^{2}}{k g ^{2}}$

$4.1 .$

Siłę grawitacji przedstawiamy wzorem:

$F_{g} = G \cdot \frac{m _{1} \cdot m _{2}}{r ^{2}}$

gdzie G jest stałą grawitacji, m₁ i m₂ są oddziałującymi ze sobą masami, r jest odległością pomiędzy środkami tych mas. Siła przyciągania pomiędzy Ziemią, a Księżycem na początku istnienia Układu Słonecznego wynosiła:

$F_{g 1} = G \cdot \frac{M _{Z} M _{K}}{r _{1}^{2}}$

Siła przyciągania pomiędzy Ziemią, a Księżycem obecnie wynosi:

$F_{g 2} = G \cdot \frac{M _{Z} M _{K}}{r _{2}^{2}}$

W zadaniu pytamy o ile zmalała ta siła. Obliczmy iloraz siły na początku istnienia i siły przyciągania obecnie:

$\frac{F _{g 1}}{F _{g 2}} = \frac{G \cdot \frac{M _{Z} M _{K}}{r _{1}^{2}}}{G \cdot \frac{M _{Z} M _{K}}{r _{2}^{2}}}$

$\frac{F _{g 1}}{F _{g 2}} = \frac{\frac{1}{r _{1}^{2}}}{\frac{1}{r _{2}^{2}}}$

$\frac{F _{g 1}}{F _{g 2}} = \frac{1}{r _{1}^{2}} \cdot \frac{r _{2}^{2}}{1}$

$\frac{F _{g 1}}{F _{g 2}} = \frac{r _{2}^{2}}{r _{1}^{2}}$

$\frac{F _{g 1}}{F _{g 2}} = (\frac{r _{2}}{r _{1}})^{2}$

$\frac{F _{g 1}}{F _{g 2}} = (\frac{38 \cdot 10 ^{7} m}{15 \cdot 10 ^{7} m})^{2}$

$\frac{F _{g 1}}{F _{g 2}} \approx (2, 533)^{2}$

$\frac{F _{g 1}}{F _{g 2}} = 6, 416089$

$\frac{F _{g 1}}{F _{g 2}} \approx 6, 4$

Siła ta zmalała około 6,4 razy.

$4.2 .$

Siła odśrodkowa poruszającego się Księżyca po orbicie Ziemi będzie równoważyła siłę grawitacji pomiędzy Ziemią, a Księżycem na początku istnienia Układu Słonecznego. Siłę odśrodkową przedstawiamy za pomocą wzoru:

$F_{o d} = \frac{m v ^{2}}{r}$

gdzie F_od jest siłą odśrodkową działającą na ciało o masie m poruszające się z prędkością liniową po okręgu o promieniu r. Wówczas siła odśrodkowa działająca na Księżyc będzie miała postać:

$F_{o d} = \frac{M _{K} v ^{2}}{r _{1}}$

Prędkość liniową w zależności od prędkości kątowej przedstawiamy wzorem:

$v = ω r$

gdzie v jest prędkością liniową ciała, ω jest prędkością kątową ciała, r jest promieniem okręgu po jakim porusza się ciało. Wówczas prędkość liniową Księżyca możemy przedstawić wzorem:

$v = ω r_{1}$