Zrozumieć fizykę. Zbiór zadań 2. Zakres rozszerzony (Zbiór zadań, Nowa Era)

10 września 2011 r. z przylądka... 4.6 gwiazdek na podstawie 10 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Fizyka

10 września 2011 r. z przylądka...

8.3.13.
 Zadanie

8.3.14.
 Zadanie
8.3.15.
 Zadanie

Wypiszmy dane podane w zadaniu:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne      

rownanie matematyczne  

 

rownanie matematyczne 

Na ciało poruszające się po orbicie kołowej działa siła grawitacji, która równoważy siłę odśrodkową. Siłę odśrodkową przedstawiamy za pomocą wzoru:

rownanie matematyczne

gdzie Fod jest siłą odśrodkową ciała o masie m poruszającego się po okręgu o promieniu r z prędkością liniową v. W naszym przypadku siła odśrodkowa będzie miała postać:

rownanie matematyczne 

gdzie v1 jest prędkością sondy na orbicie kołowej, r1 jest promieniem orbity kołowej. Siłę grawitacji przedstawiamy wzorem:

rownanie matematyczne

gdzie G jest stałą grawitacji, m1 i m2 są oddziałującymi ze sobą masami, r jest odległością pomiędzy środkami tych mas. W naszym przypadku siła grawitacji będzie miała postać:

rownanie matematyczne   

gdzie MK jest masą Księżyca. Porównajmy te siły i wyznaczmy wartość prędkości z jaką porusza się satelita:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

Korzystając z rysunku dołączonego do zadania oraz danych podanych w zadaniu zauważmy, że:

rownanie matematyczne 

Wówczas prędkość sondy poruszającej sie po orbicie kolowej w punkcie A ma postać: 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne

Ciało poruszające się po orbicie eliptycznej posiada energię potencjalną i kinetyczną w punktach A i B. Potencjałem pola grawitacyjnego V(r) w danym punkcie pola nazywamy iloraz energii potencjalnej ciała umieszczonego w tym punkcie i jego masy:

rownanie matematyczne

gdzie V(r) jest potencjałam, Ep jest energia potencjalną, m jest masą ciała umieszczonego w punkcie, w którym badamy potencjał ciała. Z tego wynika, że energia potencjalna będzie miała postać:

rownanie matematyczne

Potencjał pola grawitacyjnego V(r) w danym punkcie przedstawiamy za pomocą wzoru:

rownanie matematyczne

gdzie G jest stałą grawitacji, V(r) jest potencjałem pola grawitacyjnego pochodzącym od ciała o masie M w odległości r od tego ciał. Z tego wynika, że energię potencjalną możemy przedstawić wzorem:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Oznacza to, że energia potencjalna w punkcie A będzie miała postać:

rownanie matematyczne  

Natomiast w punkcie B będzie miała postać:

rownanie matematyczne

Energię kinetyczną ciała przedstawiamy za pomocą wzoru:

rownanie matematyczne

gdzie Ek jest energia kinetyczną ciała o masie m poruszającego się z prędkością v. Z tego wynika, że energia kinetyczna ciała w punkcie A będzie miała postać:

rownanie matematyczne 

Natomiast energia kinetyczna ciała znajdującego się w punkcie B będzie miała postać:

rownanie matematyczne 

Wówczas z zasady zachowania energii otrzymujemy równanie:

rownanie matematyczne 

Moment pędu bryly sztywnej przedstawiamy wzorem:

rownanie matematyczne  

gdzie L jest momentem pędu bryły sztywnej o momencie bezwładności I poruszającej się z prędkością kątową ω. Traktując sondę jak bryłę sztywną poruszającą się w dużej odległości od osi obrotu możemy zapisać, że jej moment bezwładności będzie miała postać:

rownanie matematyczne

Prędkość kątową w zależności od prędkości liniowej przedstawiamy wzorem:

rownanie matematyczne 

gdzie ω jest prędkością katową, v jest prędkością liniową, r jest promieniem po jakim porusza się ciało. Wówczas otrzymujemy, że momnet pedu możemy przedstawić wzorem:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Wówczas otrzymujemy, że dla sondy znajdującej się w punkcie A moment pędu będzie miał postać:

rownanie matematyczne 

Natomaist dla sondy znajdującej się w punkcie B moment pędu będzie miał postać:

rownanie matematyczne 

Wówczas korzystając z zasady zachowania momentu pędu otrzymujemy, że:

rownanie matematyczne 

Korzystając z zasady zachowania energii oraz zasady zachowania momenty pędu otrzymalismy dwa równania. Możemy zatem zapisać układ równań, z którego wyznczymy wartość prędkości sondy w punkcie A i B:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Korzystając z danych podanych w zadaniu zauważmy, że:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Wówczas prędkośc w punkcie A wynosi:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne                   

Sonda przechodzi z orbity kołowej na eliptyczną. Wówczas zmiana prędkości wynosi:

rownanie matematyczne    

Wówczas otrzymujemy, że:

`Delta v =2326\ m/s - 1671\ m/s = 655\ m/s ` 

Z tego wynika, że sonda powinna przyspieszyć.

 

rownanie matematyczne 

Wiemy, że:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

Z podpunktu a) wiemy, że prędkośc ciała poruszającego się po orbicie eliptycznej ma postać:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

` `Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne    

rownanie matematyczne    

Możemy wywnioskować również, że prędkość ciała poruszającego się po orbicie kołowej o promieniu r2 będzie miała postać:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Sonda przechodzi z orbity eliptycznej na orbitę kołową. Wówczas zmiana jej prędkości wynosi:

rownanie matematyczne 

Wówczas otrzymujemy, że:

rownanie matematyczne 

Z tego wynika, że sonda powinna hamować.

 

rownanie matematyczne 

Sonda znajdująca się na wysokości  h2 nad powierzchnią Księżyca posiada pewną energię potencjalną. Natomiast sonda uderzająca w powierzchnie księżyca posiada energie potencjalna i kinetyczną. Energię potencjalną sondy znajdującej się na wysokości h2 nad powierzchnią Księżyca oraz znajdującą się po jego przeciwnej stronie wzgledem punktu C przedstawimy wzorem:

rownanie matematyczne  

Natomiast energię potencjalna sondy, która spadła na powierzchnię Księżyca przedstawimy wzorem:

rownanie matematyczne 

Energia kinetyczna sondy, w momencie gdy zaczyna spadać wynosi:

rownanie matematyczne 

Energia kinetyczna sondy, która uderzyła o powierzchnie księżyca będzie miała postać:

rownanie matematyczne 

Wówczas korzystając z zasady zachowania energii otrzymujemy, że:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Wiemy, że:

rownanie matematyczne 

Wówczas:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

W zadaniu podane mamy, że:

rownanie matematyczne  

Sonda uderzając w Księżyc wydzieliła całą swoją energię kinetyczną. Oznacza to, że ciepło jakie wydzieliło się jest równe energii kinetycznej:

rownanie matematyczne                   

rownanie matematyczne 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

rownanie matematyczne

DYSKUSJA
Informacje
Autorzy: Bogdan Mendel, Janusz Mendel, Teresa Stolecka, Elżbieta Wójtowicz
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
ISBN: 9788326710711
Autor rozwiązania
user profile

Nauczyciel

Wiedza
Mnożenie i dzielenie

Kolejnymi działaniami, które poznasz są mnożenie i dzielenie.

  1. Mnożenie to działanie przyporządkowujące dwóm liczbom a i b liczbę c = a•b (lub a×b). Mnożone liczby nazywamy czynnikami, a wynik mnożenia iloczynem.

    mnożenie liczb

    Mnożenie jest:

    1. przemienne (czynniki można zamieniać miejscami) , np. 3 • 2 = 2 • 3
    2. łączne (gdy mamy większą liczbę czynników możemy je mnożyć w dowolnej kolejności),
      np. $$(3 • 5) • 2 = 3 • (5 • 2)$$
    3. rozdzielne względem dodawania i odejmowania
      np. 2 • (3 + 4) = 2 • 3 + 2 • 4
      2 • ( 4 - 3) = 2 • 4 - 2 • 3
      Wykorzystując łączność mnożenia można zdecydowanie łatwiej uzyskać iloczyn np.: 4 • 7 • 5 = (4 • 5) • 7 = 20 • 7 = 140
  2. Dzielenie
    Podzielić liczbę a przez b oznacza znaleźć taką liczbę c, że $$a = b • c$$, np. $$12÷3 = 4$$, bo $$12 = 3 • 4$$.
    Wynik dzielenia nazywamy ilorazem, a liczby odpowiednio dzielną i dzielnikiem.

    dzielenie liczb

    Dzielenie podobnie jak odejmowanie nie jest ani przemienne, ani łączne
     

  Ciekawostka

Znak x (razy) został wprowadzony w 1631 przez angielskiego matematyka W. Oughtreda, a symbol ͈„•” w 1698 roku przez niemieckiego filozofa i matematyka G. W. Leibniz'a.

Dodawanie ułamków zwykłych
  1. Dodawanie ułamków o jednakowych mianownikach – dodajemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

    Przykład:

    • $$4/7+6/7={10}/7=1 3/7$$

      Uwaga

    Gdy w wyniku dodania ułamków otrzymamy ułamek niewłaściwy, warto wyłączyć z niego całości (jak w przykładzie powyższym).

    Często ułamek otrzymany w wyniku można skrócić, czyli podzielić licznik i mianownik przez tę samą liczbę (jak w przykładzie poniżej).

  2. Dodawanie ułamków o różnych mianownikach – najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika (czyli tak je rozszerzamy lub skracamy, aby otrzymać w mianowniku taką samą liczbę), następnie wykonujemy dodawanie.

    Przykład:

    • $$3/10+ 1/5=3/{10}+ {1•2}/{5•2}=3/{10}+ 2/{10}=5/{10}={5÷5}/{10÷5}=1/2$$
       
  3. Dodawanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają takie same mianowniki.

    • I sposób – zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, a następnie wykonujemy dodawanie ułamków o jednakowych mianownikach.

      $$2 1/3+ 1 1/3= {2•3+1}/3+{1•3+1}/3=7/3+4/3={11}/3=3 2/3$$
       
    • II sposób – oddzielnie dodajemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które mają identyczne mianowniki.

      Przykład:

      $$2 1/3+ 1 1/3= 2 + 1/3+ 1 + 1/3= 3 + 2/3= 3 2/3$$
       
  4. Dodawanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają różne mianowniki.

    • I sposób – zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, następnie sprowadzamy je do wspólnego mianowniku, a potem wykonujemy dodawanie.

      $$2 1/3+ 1 1/2= {2•3+1}/3+{1•2+1}/2=7/3+3/2={7•2}/{3•2}+{3•3}/{2•3}={14}/6 + 9/6={23}/6=3 5/6$$
       
    • II sposób – oddzielnie dodajemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które musimy najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika.

      Przykład:

      $$2 1/3+ 1 1/2= 2 + 1/3+ 1 + 1/2= 3 + 1/3+ 1/2= 3 + {1•2}/{3•2}+ {1•3}/{2•3}= 3 + 2/6+ 3/6= 3 + 5/6= 3 5/6$$
 
Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom