10 września 2011 r. z przylądka... 4.6 gwiazdek na podstawie 10 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Fizyka

10 września 2011 r. z przylądka...

8.3.13.
 Zadanie

8.3.14.
 Zadanie
8.3.15.
 Zadanie

Wypiszmy dane podane w zadaniu:

`h_1 = 55\ km = 55*10^3\ m = 5,5*10^4\ m` 

`h_2 = 23\ km = 23*10^3\ m=2,3*10^4\ m`  

`R_K = 1700\ km = 1700*10^3\ m = 170*10^4\ m`      

`G*M_K = 49*10^11\ (N*m^2)/(kg)`  

 

`a)` 

Na ciało poruszające się po orbicie kołowej działa siła grawitacji, która równoważy siłę odśrodkową. Siłę odśrodkową przedstawiamy za pomocą wzoru:

`F_(od) = (m*v^2)/r`

gdzie Fod jest siłą odśrodkową ciała o masie m poruszającego się po okręgu o promieniu r z prędkością liniową v. W naszym przypadku siła odśrodkowa będzie miała postać:

`F_(od) = (m*v_1^2)/r_1` 

gdzie v1 jest prędkością sondy na orbicie kołowej, r1 jest promieniem orbity kołowej. Siłę grawitacji przedstawiamy wzorem:

`F_(g) = G*(m_1*m_2)/r^2`

gdzie G jest stałą grawitacji, m1 i m2 są oddziałującymi ze sobą masami, r jest odległością pomiędzy środkami tych mas. W naszym przypadku siła grawitacji będzie miała postać:

`F_(g) = G*( m * M_K )/r_1^2`   

gdzie MK jest masą Księżyca. Porównajmy te siły i wyznaczmy wartość prędkości z jaką porusza się satelita:

`F_(od) = F_g`

`(m*v_1^2)/r_1 = (G*m*M_K)/r_1^2 \ \ \ \ \ \ \ |:m`  

`v_1^2/r_1 = (G*M_K)/(r_1^2) \ \ \ \ \ \ \ |*r_1`

`v_1^2 = (G*M_K)/r_1 \ \ \ \ \ \ \ |sqrt(\ )` 

`v_1 = sqrt((G*M_K)/r_1)`  

Korzystając z rysunku dołączonego do zadania oraz danych podanych w zadaniu zauważmy, że:

`r_1 = h_1 + R_K", czyli " r_1 = 5,5*10^4\ m + 170*10^4\ m = 175,5*10^4\ m` 

 Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

`v_1 = sqrt((49*10^11\ (N*m^2)/(kg))/(175,5*10^4\ m)) =sqrt((490*10^10\ (cancel(kg)*strike(m)/s^2*m^2)/cancel(kg))/(175,5*10^4\ strike(m)))~~`   

`\ \ \ ~~ sqrt(2,792*10^6\ m^2/s^2)~~1,6709*10^3\ m/s = 1670,9\ m/s` 

Ciało poruszające się po orbicie eliptycznej posiada energię potencjalną i kinetyczną w punktach A i B. Potencjałem pola grawitacyjnego V(r) w danym punkcie pola nazywamy iloraz energii potencjalnej ciała umieszczonego w tym punkcie i jego masy:

`V(r) = E_p/m`

gdzie V(r) jest potencjałem, Ep jest energia potencjalną, m jest masą ciała umieszczonego w punkcie, w którym badamy potencjał ciała. Z tego wynika, że energia potencjalna będzie miała postać:

`E_p = V(r)*m`

Potencjał pola grawitacyjnego V(r) w danym punkcie przedstawiamy za pomocą wzoru:

`V(r) = - (G*M)/r`

gdzie G jest stałą grawitacji, V(r) jest potencjałem pola grawitacyjnego pochodzącym od ciała o masie M w odległości r od tego ciał. Z tego wynika, że energię potencjalną możemy przedstawić wzorem:

`E_p = V(r)*m`

`E_p = -(G*M)/r*m` 

`E_p = -(G*M*m)/r` 

Oznacza to, że energia potencjalna w punkcie A będzie miała postać:

`E_(pA) = - (G*M_K*m)/r_1`  

Natomiast w punkcie B będzie miała postać:

`E_(pB) = -(G*M_K*m)/r_2`

Energię kinetyczną ciała przedstawiamy za pomocą wzoru:

`E_k = (m*v^2)/2`

gdzie Ek jest energia kinetyczną ciała o masie m poruszającego się z prędkością v. Z tego wynika, że energia kinetyczna ciała w punkcie A będzie miała postać:

`E_(kA) = (m*v_A^2)/2` 

Natomiast energia kinetyczna ciała znajdującego się w punkcie B będzie miała postać:

`E_(kB) = (m*v_B^2)/2` 

Wówczas z zasady zachowania energii otrzymujemy równanie:

`E_(pA) + E_(kA) = E_(pB) + E_(kB)` 

Moment pędu bryły sztywnej przedstawiamy wzorem:

`L = I*omega`  

gdzie L jest momentem pędu bryły sztywnej o momencie bezwładności I poruszającej się z prędkością kątową ω. Traktując sondę jak bryłę sztywną poruszającą się w dużej odległości od osi obrotu możemy zapisać, że jej moment bezwładności będzie miała postać:

`I = m*r^2`

Prędkość kątową w zależności od prędkości liniowej przedstawiamy wzorem:

`omega = v/r` 

gdzie ω jest prędkością kątową, v jest prędkością liniową, r jest promieniem po jakim porusza się ciało. Wówczas otrzymujemy, że moment pędu możemy przedstawić wzorem:

`L = I*omega` 

`L = m*r^2*v/r` 

`L = m*r*v` 

Wówczas otrzymujemy, że dla sondy znajdującej się w punkcie A moment pędu będzie miał postać:

`L_A = m*r_1*v_A` 

Natomiast dla sondy znajdującej się w punkcie B moment pędu będzie miał postać:

`L_B = m*r_2*v_B` 

Wówczas korzystając z zasady zachowania momentu pędu otrzymujemy, że:

`L_A = L_B` 

Korzystając z zasady zachowania energii oraz zasady zachowania momenty pędu otrzymaliśmy dwa równania. Możemy zatem zapisać układ równań, z którego wyznaczymy wartość prędkości sondy w punkcie A i B:

`{(E_(pA) + E_(kA) = E_(pB) + E_(kB)),(L_A=L_B):}` 

`{(- (G*M_K*m)/r_1 + (m*v_A^2)/2 = -(G*M_K*m)/r_2 +(m*v_B^2)/2 \ \ \ \ \ \ |*2*r_1*r_2),(m*r_1*v_A = m*r_2*v_B \ \ \ \ \ |:(m*r_2)):}`   

`{(- 2*r_2*G*M_K*m + m*r_1*r_2*v_A^2 = -2*r_1*G*M_K*m + m*r_1*r_2*v_B^2 \ \ \ \ \ \ \ |+ 2*r_2*G*M_K*m - m*r_1*r_2*v_B^2),(r_1/r_2*v_A = v_B):}`  

`{( m*r_1*r_2*v_A^2 - m*r_1*r_2*v_B^2=2*r_2*G*M_K*m -2*r_1*G*M_K*m \ \ \ \ \ \ \ |:m),(v_B = r_1/r_2*v_A ):}` 

`{( r_1*r_2*v_A^2 - r_1*r_2*v_B^2=2*r_2*G*M_K -2*r_1*G*M_K),(v_B = r_1/r_2*v_A ):}` 

`{( r_1*r_2*v_A^2 - r_1*r_2*(r_1/r_2*v_A)^2=2*r_2*G*M_K -2*r_1*G*M_K),(v_B = r_1/r_2*v_A ):}` 

`{( r_1*r_2*v_A^2 - r_1*r_2*r_1^2/r_2^2*v_A^2=2*r_2*G*M_K -2*r_1*G*M_K),(v_B = r_1/r_2*v_A ):}` 

`{( r_1*r_2*v_A^2 - r_1*r_1^2/r_2*v_A^2=2*G*M_K (r_2 - r_1) ),(v_B = r_1/r_2*v_A ):}` 

`{( r_1*v_A^2*(r_2 - r_1^2/r_2) =2*G*M_K (r_2 - r_1) ),(v_B = r_1/r_2*v_A ):}`  

`{( r_1*v_A^2*(r_2^2 - r_1^2)/r_2 =2*G*M_K (r_2 - r_1) ),(v_B = r_1/r_2*v_A ):}` 

`{( r_1*v_A^2*((r_2 - r_1)*(r_2 + r_1))/r_2 =2*G*M_K (r_2 - r_1) \ \ \ \ \ \ \ |:(r_2-r_1) ),(v_B = r_1/r_2*v_A ):}` 

`{( r_1*v_A^2*(r_2 + r_1)/r_2 =2*G*M_K \ \ \ \ \ \ \ |*r_2),(v_B = r_1/r_2*v_A ):}` 

`{( r_1*v_A^2*(r_2 + r_1) =2*G*M_K*r_2 \ \ \ \ \ \ |:(r_1*(r_2+r_1))),(v_B = r_1/r_2*v_A ):}` 

`{(v_A^2 =(2*G*M_K*r_2)/(r_1*(r_2+r_1)) \ \ \ \ \ \ \ |sqrt(\ ) ),(v_B = r_1/r_2*v_A ):}`  

`{(v_A =sqrt((2*G*M_K*r_2)/(r_1*(r_1+r_2)))),(v_B = r_1/r_2*v_A ):}` 

`{(v_A =sqrt((2*G*M_K*r_2)/(r_1*(r_1+r_2)))),(v_B = r_1/r_2*sqrt((2*G*M_K*r_2)/(r_1*(r_1+r_2))) ):}` 

`{(v_A =sqrt((2*G*M_K*r_2)/(r_1*(r_1+r_2)))),(v_B = sqrt(r_1^2/r_2^2 * (2*G*M_K*r_2)/(r_1*(r_1+r_2))) ):}` 

`{(v_A =sqrt((2*G*M_K*r_2)/(r_1*(r_1+r_2)))),(v_B = sqrt( (2*G*M_K*r_1)/(r_2*(r_1+r_2))) ):}` 

Korzystając z danych podanych w zadaniu zauważmy, że:

`r_1 = h_1 + R_K", czyli "r_1 =5,5*10^4\ m + 170*10^4\ m = 175,5*10^4\ m` 

`r_2 = h_2+R_K", czyli " r_2 =2,3*10^4\ m +  170*10^4\ m=172,3*10^4\ m` 

Prędkość w punkcie A wynosi:

`v_A = sqrt((2*G*M_K*r_2)/(r_1*(r_1+r_2)))` 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

`v_A = sqrt((2*49*10^11\ (N*m^2)/(kg) *172,3*cancel(10^4\ m))/(175,5*cancel(10^4\ m)*(175,5*10^4\ m + 172,3*10^4\ m))) =`  

`\ \ \ = sqrt((16885,4*10^11\ (N*m^2)/(kg))/(175,5*347,8*10^4\ m))=sqrt((16885,4*10^11\ (cancel(kg)*m/s^2*m^2)/cancel(kg))/(175,5*347,8*10^4\ m))=`  

`\ \ \ =sqrt((168 854*10^10\ m^2/s^2*m)/(61 038,9*10^4\ m))~~sqrt(2,766375*10^6\ m^2/s^2)~~` 

`\ \ \ ~~ 1,66324*10^3\ m/s~~1663,2\ m/s` 

Sonda przechodzi z orbity kołowej na eliptyczną. Wówczas zmiana prędkości wynosi:

`Delta v = v_A - v_1`    

Wówczas otrzymujemy, że:

`Delta v = 1663,2\ m/s - 1670,9\ m/s = -7,7\ m/s` 

Z tego wynika, że sonda powinna hamować.

 

`b)` 

Z podpunktu a) wiemy, że prędkość ciała poruszającego się po orbicie eliptycznej ma postać:

`v_B = sqrt( (2*G*M_K*r_1)/(r_2*(r_1+r_2)))` 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

`v_B = sqrt((2*49*10^11\ (N*m^2)/(kg) *175,5*cancel(10^4\ m)))/(172,3*cancel(10^4\ m)*(175,5*10^4\ m +172,3*10^4\ m))) = ` 

`\ \ \  = sqrt((17 199*10^11\ (cancel(kg)*m/s^2*m^2)/cancel(kg)))/(172,3*347,8*10^4\ m)) = sqrt((171 990*10^10\ m^2/s^2 * cancel(m))/(59 925,94\ cancel(m)))~~` 

`\ \ \ ~~sqrt(2,87*10^6\ m^/s^2)~~1,6941*10^3\ m/s~~1694,1\ m/s` 

Możemy wywnioskować również, że prędkość ciała poruszającego się po orbicie kołowej o promieniu r2 będzie miała postać:

`v_2 = sqrt((G*M_K)/r_2)` 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

`v_2 = sqrt((49*10^11\ (N*m^2)/(kg))/(172,3*10^4\ m)) = sqrt(sqrt((490*10^10\ (cancel(kg)*strike(m)/s^2*m^2)/cancel(kg))/(172,3*10^4\ strike(m)))` 

`\ \ \ ~~ sqrt(2,84388*10^6\ m^2/s^2) ~~1,68638*10^3\ m/s ~~1 686,4\ m/s` 

Sonda przechodzi z orbity eliptycznej na orbitę kołową. Wówczas zmiana jej prędkości wynosi:

`Delta v = v_2 - v_B` 

Wówczas otrzymujemy, że:

`Delta v = 1686,4\ m/s - 1694,1\ m/s = - 7,7\ m/s` 

Z tego wynika, że sonda powinna hamować.

 

`c)` 

Sonda znajdująca się na wysokości  h2 nad powierzchnią Księżyca posiada pewną energię potencjalną. Natomiast sonda uderzająca w powierzchnie księżyca posiada energie potencjalna i kinetyczną. Energię potencjalną sondy znajdującej się na wysokości h2 nad powierzchnią Księżyca oraz znajdującą się po jego przeciwnej stronie względem punktu C przedstawimy wzorem:

`E_(p1) = -(G*M_K*m)/(r_2+R_K)`  

Natomiast energię potencjalna sondy, która spadła na powierzchnię Księżyca przedstawimy wzorem:

`E_(p2) = - (G*M_K*m)/R_K` 

Energia kinetyczna sondy, w momencie gdy zaczyna spadać wynosi:

`E_(k1) = 0` 

Energia kinetyczna sondy, która uderzyła o powierzchnie księżyca będzie miała postać:

`E_(k2) = (m*v_c^2)/2` 

Wówczas korzystając z zasady zachowania energii otrzymujemy, że:

`E_(p2) + E_(k2) = E_(p1) + E_(k1)` 

`- (G*M_K*m)/R_K + (m*v_c^2)/2 = -(G*M_K*m)/(r_2+R_K) + 0` 

`- (G*M_K*m)/R_K + (m*v_c^2)/2 = -(G*M_K*m)/(r_2+R_K) \ \ \ \ \ |:m` 

`- (G*M_K)/R_K + (v_c^2)/2 = -(G*M_K)/(r_2+R_K) \ \ \ \ \ \ \ |+(G*M_K)/R_K` 

`(v_c^2)/2 = -(G*M_K)/(r_2+R_K)+(G*M_K)/R_K` 

`(v_c^2)/2 = G*M_K*(1/R_K-1/(r_2+R_K))` 

`(v_c^2)/2 = G*M_K*((r_2+R_K)/(R_K*(r_2+R_K))-R_K/(R_K*(r_2+R_K)) )` 

`(v_c^2)/2 = G*M_K* (r_2+R_K -R_K)/(R_K*(r_2+R_K))`  

`(v_c^2)/2 = G*M_K* r_2/(R_K*(r_2+R_K))` 

`(v_c^2)/2 = (G*M_K* r_2)/(R_K*(r_2+R_K)) \ \ \ \ \ \ \ |*2` 

`v_c^2 = (2*G*M_K* r_2)/(R_K*(r_2+R_K)) \ \ \ \ \ \ |sqrt( \ )` 

`v_c=sqrt((2*G*M_K* r_2)/(R_K*(r_2+R_K)))` 

Wiemy, że:

`r_2 = h_2+R_K` 

Wówczas:

`v_c = sqrt((2*G*M_K* (h_2+R_K))/(R_K*(h_2+R_K+R_K)))` 

`v_c = sqrt((2*G*M_K* (h_2+R_K))/(R_K*(h_2+2*R_K)))` 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

`v_c = sqrt((2*49*10^11\ (N*m^2)/(kg) * (2,3*10^4\ m + 170*10^4\ m))/(170*10^4\ m * (2,3*10^4\ m +2* 170*10^4\ m))) = sqrt((98*10^11\ (N*m^2)/(kg) * 172,3*10^4\ m)/(170*10^4\ m * (2,3*10^4\ m +340*10^4\ m))) =`  

`\ \ \ = sqrt((16885,4*10^15\ (N*m^3)/(kg))/(170*10^4\ m * 342,3*10^4\ m)) = sqrt((168854*10^14\ (kg*m/s^2*m^3)/(kg))/(58191 * 342,3*10^8\ m^2))=sqrt((168854*10^14\ m^4/s^2)/(58191 * 342,3*10^8\ m^2)) ~~` 

`\ \ \ ~~sqrt(2,90172*10^6\ m^2/s^2)~~1,703*10^3\ m/s = 1703\ m/s` 

 

`d)` 

W zadaniu podane mamy, że:

`m = 200\ kg`  

Sonda uderzając w Księżyc wydzieliła całą swoją energię kinetyczną. Oznacza to, że ciepło jakie wydzieliło się jest równe energii kinetycznej:

`Q = E_(k2)`                   

`Q = (m*v_c^2)/2` 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

`Q = (200\ kg*(1703\ m/s)^2)/2 = (200\ kg*2900209\ m^2/s^2)/2 = (580041800\ kg*m^2/s^2)/2 = 290 020 900\ kg*m^2/s^2~~290*10^6\ J = 290\ MJ`

DYSKUSJA
opinia do odpowiedzi 10 września 2011 r. z przylądka... - Zadanie 8.3.13.: Zrozumieć fizykę. Zbiór zadań 2. Zakres rozszerzony - strona 178
Pytanie do Autora

21 listopada 2018

Dlaczego w punkcie c) wstawiamy do wzoru na Ep1 za r r2+Rk a nie po prsotu r2? :/

Dlaczego przyjmujemy że spadek nastąpił przy zerowej prędkości? Nie powinniśmy tego obliczyć tak samo jak przykład b?

komentarz do rozwiązania 10 września 2011 r. z przylądka... - Zadanie 8.3.13.: Zrozumieć fizykę. Zbiór zadań 2. Zakres rozszerzony - strona 178
Ewelina

6032

21 listopada 2018

Dzień dobry,

do wzoru w podpunkcie c) wstawiamy `r_2 + R_k`, ponieważ rozważamy energię potencjalną grawitacji, którą w tym przypadku rozważamy do punktu `bbC` (rysunek b)....

opinia do rozwiązania 10 września 2011 r. z przylądka... - Zadanie 8.3.13.: Zrozumieć fizykę. Zbiór zadań 2. Zakres rozszerzony - strona 178
janek

30 stycznia 2019
dzieki
klasa:
Informacje
Autorzy: Bogdan Mendel, Janusz Mendel, Teresa Stolecka, Elżbieta Wójtowicz
Wydawnictwo: Nowa Era
Rok wydania:
ISBN: 9788326710711
Autor rozwiązania
user profile

Nauczyciel

Wiedza
Odejmowanie ułamków zwykłych
  1. Odejmowanie ułamków o jednakowych mianownikach – odejmujemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

    Przykład:

    • $$5/6-2/6= 3/6= {3÷3}/{6÷3}=1/2$$

      Uwaga

    Gdy w wyniku odejmowania ułamków otrzymamy ułamek niewłaściwy, warto wyłączyć z niego całości.
    Często ułamek otrzymany w wyniku można skrócić, czyli podzielić licznik i mianownik przez tę samą liczbę.

  2. Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach – najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika (czyli tak je rozszerzamy lub skracamy, aby otrzymać w mianowniku taką samą liczbę), następnie wykonujemy odejmowanie.

    Przykład:

    • $$3/{10}- 1/5=3/{10}- {1•2}/{5•2}=3/{10}- 2/{10}=1/{10}$$
       
  3. Odejmowanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają takie same mianowniki.

    • I sposób – zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, a następnie wykonujemy odejmowanie ułamków o jednakowych mianownikach.

      Przykład:

      $$2 1/3- 1 1/3= {2•3+1}/3-{1•3+1}/3=7/3-4/3=3/3=1$$
    • II sposób – oddzielnie odejmujemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które mają identyczne mianowniki.

      Przykład:

      $$2 1/3- 1 1/3= 2 + 1/3- 1 - 1/3= 2 – 1 + 1/3- 1/3= 1 + 0 = 1$$
       
  4. Odejmowanie liczb mieszanych, których składniki ułamkowe mają różne mianowniki.

    • I sposób – zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, następnie sprowadzamy je do wspólnego mianowniku, a potem wykonujemy odejmowanie.

      Przykład:

      $$2 1/3- 1 1/2= {2•3+1}/3-{1•2+1}/2=7/3-3/2={7•2}/{3•2}-{3•3}/{2•3}={14}/6-9/6=5/6$$
    • II sposób – oddzielnie odejmujemy składniki całkowite i oddzielnie składniki ułamkowe, które musimy najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika.

      Przykład:

      $$2 1/2- 1 1/3= 2 + 1/2- 1 - 1/3= 2 - 1 + 1/2-1/3= 1 +{1•3}/{2•3}-{1•2}/{3•2}= 1 + 3/6- 2/6= 1 + 1/6= 1 1/6$$
 
Mnożenie i dzielenie

Kolejnymi działaniami, które poznasz są mnożenie i dzielenie.

  1. Mnożenie to działanie przyporządkowujące dwóm liczbom a i b liczbę c = a•b (lub a×b). Mnożone liczby nazywamy czynnikami, a wynik mnożenia iloczynem.

    mnożenie liczb

    Mnożenie jest:

    1. przemienne (czynniki można zamieniać miejscami) , np. 3 • 2 = 2 • 3
    2. łączne (gdy mamy większą liczbę czynników możemy je mnożyć w dowolnej kolejności),
      np. $$(3 • 5) • 2 = 3 • (5 • 2)$$
    3. rozdzielne względem dodawania i odejmowania
      np. 2 • (3 + 4) = 2 • 3 + 2 • 4
      2 • ( 4 - 3) = 2 • 4 - 2 • 3
      Wykorzystując łączność mnożenia można zdecydowanie łatwiej uzyskać iloczyn np.: 4 • 7 • 5 = (4 • 5) • 7 = 20 • 7 = 140
  2. Dzielenie
    Podzielić liczbę a przez b oznacza znaleźć taką liczbę c, że $$a = b • c$$, np. $$12÷3 = 4$$, bo $$12 = 3 • 4$$.
    Wynik dzielenia nazywamy ilorazem, a liczby odpowiednio dzielną i dzielnikiem.

    dzielenie liczb

    Dzielenie podobnie jak odejmowanie nie jest ani przemienne, ani łączne
     

  Ciekawostka

Znak x (razy) został wprowadzony w 1631 przez angielskiego matematyka W. Oughtreda, a symbol ͈„•” w 1698 roku przez niemieckiego filozofa i matematyka G. W. Leibniz'a.

Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom