10 września 2011 r. z przylądka...- Zadanie 8.3.13.: Zrozumieć fizykę. Zbiór zadań 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$h_{1} = 55 k m = 55 \cdot 10^{3} m = 5, 5 \cdot 10^{4} m$

$h_{2} = 23 k m = 23 \cdot 10^{3} m = 2, 3 \cdot 10^{4} m$

$R_{K} = 1700 k m = 1700 \cdot 10^{3} m = 170 \cdot 10^{4} m$

$G \cdot M_{K} = 49 \cdot 10^{11} \frac{N \cdot m ^{2}}{k g}$

$a)$

Na ciało poruszające się po orbicie kołowej działa siła grawitacji, która równoważy siłę odśrodkową. Siłę odśrodkową przedstawiamy za pomocą wzoru:

$F_{o d} = \frac{m \cdot v ^{2}}{r}$

gdzie F_od jest siłą odśrodkową ciała o masie m poruszającego się po okręgu o promieniu r z prędkością liniową v. W naszym przypadku siła odśrodkowa będzie miała postać:

$F_{o d} = \frac{m \cdot v _{1}^{2}}{r _{1}}$

gdzie v₁ jest prędkością sondy na orbicie kołowej, r₁ jest promieniem orbity kołowej. Siłę grawitacji przedstawiamy wzorem:

$F_{g} = G \cdot \frac{m _{1} \cdot m _{2}}{r ^{2}}$

gdzie G jest stałą grawitacji, m₁ i m₂ są oddziałującymi ze sobą masami, r jest odległością pomiędzy środkami tych mas. W naszym przypadku siła grawitacji będzie miała postać:

$F_{g} = G \cdot \frac{m \cdot M _{K}}{r _{1}^{2}}$

gdzie M_K jest masą Księżyca. Porównajmy te siły i wyznaczmy wartość prędkości z jaką porusza się satelita:

$F_{o d} = F_{g}$

$\frac{m \cdot v _{1}^{2}}{r _{1}} = \frac{G \cdot m \cdot M _{K}}{r _{1}^{2}} ∣ : m$

$\frac{v _{1}^{2}}{r _{1}} = \frac{G \cdot M _{K}}{r _{1}^{2}} ∣ \cdot r_{1}$

$v_{1}^{2} = \frac{G \cdot M _{K}}{r _{1}} ∣$

$v_{1} = \frac{G \cdot M _{K}}{r _{1}}$

Korzystając z rysunku dołączonego do zadania oraz danych podanych w zadaniu zauważmy, że:

$r_{1} = h_{1} + R_{K}, czyli r_{1} = 5, 5 \cdot 10^{4} m + 170 \cdot 10^{4} m = 175, 5 \cdot 10^{4} m$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_{1} = \frac{49 \cdot 10 ^{11} \frac{N \cdot m ^{2}}{k g}}{175 , 5 \cdot 10 ^{4} m} = \frac{490 \cdot 10 ^{10} \frac{k g \cdot \frac{m}{s ^{2}} \cdot m ^{2}}{k g}}{175 , 5 \cdot 10 ^{4} m} \approx$

$\approx 2, 792 \cdot 10^{6} \frac{m ^{2}}{s ^{2}} \approx 1, 6709 \cdot 10^{3} \frac{m}{s} = 1670, 9 \frac{m}{s}$

Ciało poruszające się po orbicie eliptycznej posiada energię potencjalną i kinetyczną w punktach A i B. Potencjałem pola grawitacyjnego V(r) w danym punkcie pola nazywamy iloraz energii potencjalnej ciała umieszczonego w tym punkcie i jego masy:

$V (r) = \frac{E _{p}}{m}$

gdzie V(r) jest potencjałem, E_p jest energia potencjalną, m jest masą ciała umieszczonego w punkcie, w którym badamy potencjał ciała. Z tego wynika, że energia potencjalna będzie miała postać:

$E_{p} = V (r) \cdot m$

Potencjał pola grawitacyjnego V(r) w danym punkcie przedstawiamy za pomocą wzoru:

$V (r) = - \frac{G \cdot M}{r}$

gdzie G jest stałą grawitacji, V(r) jest potencjałem pola grawitacyjnego pochodzącym od ciała o masie M w odległości r od tego ciał. Z tego wynika, że energię potencjalną możemy przedstawić wzorem:

$E_{p} = V (r) \cdot m$

$E_{p} = - \frac{G \cdot M}{r} \cdot m$

$E_{p} = - \frac{G \cdot M \cdot m}{r}$

Oznacza to, że energia potencjalna w punkcie A będzie miała postać:

$E_{p A} = - \frac{G \cdot M _{K} \cdot m}{r _{1}}$

Natomiast w punkcie B będzie miała postać:

$E_{p B} = - \frac{G \cdot M _{K} \cdot m}{r _{2}}$

Energię kinetyczną ciała przedstawiamy za pomocą wzoru:

$E_{k} = \frac{m \cdot v ^{2}}{2}$

gdzie E_k jest energia kinetyczną ciała o masie m poruszającego się z prędkością v. Z tego wynika, że energia kinetyczna ciała w punkcie A będzie miała postać:

$E_{k A} = \frac{m \cdot v _{A}^{2}}{2}$

Natomiast energia kinetyczna ciała znajdującego się w punkcie B będzie miała postać:

$E_{k B} = \frac{m \cdot v _{B}^{2}}{2}$

Wówczas z zasady zachowania energii otrzymujemy równanie:

$E_{p A} + E_{k A} = E_{p B} + E_{k B}$

Moment pędu bryły sztywnej przedstawiamy wzorem:

$L = I \cdot ω$

gdzie L jest momentem pędu bryły sztywnej o momencie bezwładności I poruszającej się z prędkością kątową ω. Traktując sondę jak bryłę sztywną poruszającą się w dużej odległości od osi obrotu możemy zapisać, że jej moment bezwładności będzie miała postać:

$I = m \cdot r^{2}$

Prędkość kątową w zależności od prędkości liniowej przedstawiamy wzorem:

$ω = \frac{v}{r}$

gdzie ω jest prędkością kątową, v jest prędkością liniową, r jest promieniem po jakim porusza się ciało. Wówczas otrzymujemy, że moment pędu możemy przedstawić wzorem:

$L = I \cdot ω$

$L = m \cdot r^{2} \cdot \frac{v}{r}$

$L = m \cdot r \cdot v$

Wówczas otrzymujemy, że dla sondy znajdującej się w punkcie A moment pędu będzie miał postać:

$L_{A} = m \cdot r_{1} \cdot v_{A}$

Natomiast dla sondy znajdującej się w punkcie B moment pędu będzie miał postać:

$L_{B} = m \cdot r_{2} \cdot v_{B}$

Wówczas korzystając z zasady zachowania momentu pędu otrzymujemy, że:

$L_{A} = L_{B}$

Korzystając z zasady zachowania energii oraz zasady zachowania momenty pędu otrzymaliśmy dwa równania. Możemy zatem zapisać układ równań, z którego wyznaczymy wartość prędkości sondy w punkcie A i B:

${E_{p A} + E_{k A} = E_{p B} + E_{k B} L_{A} = L_{B}$

${- \frac{G \cdot M _{K} \cdot m}{r _{1}} + \frac{m \cdot v _{A}^{2}}{2} = - \frac{G \cdot M _{K} \cdot m}{r _{2}} + \frac{m \cdot v _{B}^{2}}{2} ∣ \cdot 2 \cdot r_{1} \cdot r_{2} m \cdot r_{1} \cdot v_{A} = m \cdot r_{2} \cdot v_{B} ∣ : (m \cdot r_{2})$

${- 2 \cdot r_{2} \cdot G \cdot M_{K} \cdot m + m \cdot r_{1} \cdot r_{2} \cdot v_{A}^{2} = - 2 \cdot r_{1} \cdot G \cdot M_{K} \cdot m + m \cdot r_{1} \cdot r_{2} \cdot v_{B}^{2} ∣ + 2 \cdot r_{2} \cdot G \cdot M_{K} \cdot m - m \cdot r_{1} \cdot r_{2} \cdot v_{B}^{2} \frac{r _{1}}{r _{2}} \cdot v_{A} = v_{B}$

${m \cdot r_{1} \cdot r_{2} \cdot v_{A}^{2} - m \cdot r_{1} \cdot r_{2} \cdot v_{B}^{2} = 2 \cdot r_{2} \cdot G \cdot M_{K} \cdot m - 2 \cdot r_{1} \cdot G \cdot M_{K} \cdot m ∣ : m v_{B} = \frac{r _{1}}{r _{2}} \cdot v_{A}$

${r_{1} \cdot r_{2} \cdot v_{A}^{2} - r_{1} \cdot r_{2} \cdot v_{B}^{2} = 2 \cdot r_{2} \cdot G \cdot M_{K} - 2 \cdot r_{1} \cdot G \cdot M_{K} v_{B} = \frac{r _{1}}{r _{2}} \cdot v_{A}$

$⎩ ⎨ ⎧ r_{1} \cdot r_{2} \cdot v_{A}^{2} - r_{1} \cdot r_{2} \cdot (\frac{r _{1}}{r _{2}} \cdot v_{A})^{2} = 2 \cdot r_{2} \cdot G \cdot M_{K} - 2 \cdot r_{1} \cdot G \cdot M_{K} v_{B} = \frac{r _{1}}{r _{2}} \cdot v_{A}$

${r_{1} \cdot r_{2} \cdot v_{A}^{2} - r_{1} \cdot r_{2} \cdot \frac{r _{1}^{2}}{r _{2}^{2}} \cdot v_{A}^{2} = 2 \cdot r_{2} \cdot G \cdot M_{K} - 2 \cdot r_{1} \cdot G \cdot M_{K} v_{B} = \frac{r _{1}}{r _{2}} \cdot v_{A}$

${r_{1} \cdot r_{2} \cdot v_{A}^{2} - r_{1} \cdot \frac{r _{1}^{2}}{r _{2}} \cdot v_{A}^{2} = 2 \cdot G \cdot M_{K} (r_{2} - r_{1}) v_{B} = \frac{r _{1}}{r _{2}} \cdot v_{A}$

${r_{1} \cdot v_{A}^{2} \cdot (r_{2} - \frac{r _{1}^{2}}{r _{2}}) = 2 \cdot G \cdot M_{K} (r_{2} - r_{1}) v_{B} = \frac{r _{1}}{r _{2}} \cdot v_{A}$

${r_{1} \cdot v_{A}^{2} \cdot \frac{r _{2}^{2} - r _{1}^{2}}{r _{2}} = 2 \cdot G \cdot M_{K} (r_{2} - r_{1}) v_{B} = \frac{r _{1}}{r _{2}} \cdot v_{A}$

${r_{1} \cdot v_{A}^{2} \cdot \frac{( r _{2} - r _{1} ) \cdot ( r _{2} + r _{1} )}{r _{2}} = 2 \cdot G \cdot M_{K} (r_{2} - r_{1}) ∣ : (r_{2} - r_{1}) v_{B} = \frac{r _{1}}{r _{2}} \cdot v_{A}$

${r_{1} \cdot v_{A}^{2} \cdot \frac{r _{2} + r _{1}}{r _{2}} = 2 \cdot G \cdot M_{K} ∣ \cdot r_{2} v_{B} = \frac{r _{1}}{r _{2}} \cdot v_{A}$

${r_{1} \cdot v_{A}^{2} \cdot (r_{2} + r_{1}) = 2 \cdot G \cdot M_{K} \cdot r_{2} ∣ : (r_{1} \cdot (r_{2} + r_{1})) v_{B} = \frac{r _{1}}{r _{2}} \cdot v_{A}$

${v_{A}^{2} = \frac{2 \cdot G \cdot M _{K} \cdot r _{2}}{r _{1} \cdot ( r _{2} + r _{1} )} ∣ v_{B} = \frac{r _{1}}{r _{2}} \cdot v_{A}$

${v_{A} = \frac{2 \cdot G \cdot M _{K} \cdot r _{2}}{r _{1} \cdot ( r _{1} + r _{2} )} v_{B} = \frac{r _{1}}{r _{2}} \cdot v_{A}$

$⎩ ⎨ ⎧ v_{A} = \frac{2 \cdot G \cdot M _{K} \cdot r _{2}}{r _{1} \cdot ( r _{1} + r _{2} )} v_{B} = \frac{r _{1}}{r _{2}} \cdot \frac{2 \cdot G \cdot M _{K} \cdot r _{2}}{r _{1} \cdot ( r _{1} + r _{2} )}$

$⎩ ⎨ ⎧ v_{A} = \frac{2 \cdot G \cdot M _{K} \cdot r _{2}}{r _{1} \cdot ( r _{1} + r _{2} )} v_{B} = \frac{r _{1}^{2}}{r _{2}^{2}} \cdot \frac{2 \cdot G \cdot M _{K} \cdot r _{2}}{r _{1} \cdot ( r _{1} + r _{2} )}$

$⎩ ⎨ ⎧ v_{A} = \frac{2 \cdot G \cdot M _{K} \cdot r _{2}}{r _{1} \cdot ( r _{1} + r _{2} )} v_{B} = \frac{2 \cdot G \cdot M _{K} \cdot r _{1}}{r _{2} \cdot ( r _{1} + r _{2} )}$

Korzystając z danych podanych w zadaniu zauważmy, że:

$r_{1} = h_{1} + R_{K}, czyli r_{1} = 5, 5 \cdot 10^{4} m + 170 \cdot 10^{4} m = 175, 5 \cdot 10^{4} m$

$r_{2} = h_{2} + R_{K}, czyli r_{2} = 2, 3 \cdot 10^{4} m + 170 \cdot 10^{4} m = 172, 3 \cdot 10^{4} m$

Prędkość w punkcie A wynosi:

$v_{A} = \frac{2 \cdot G \cdot M _{K} \cdot r _{2}}{r _{1} \cdot ( r _{1} + r _{2} )}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_{A} = \frac{2 \cdot 49 \cdot 10 ^{11} \frac{N \cdot m ^{2}}{k g} \cdot 172 , 3 \cdot 10 ^{4} m}{175 , 5 \cdot 10 ^{4} m \cdot ( 175 , 5 \cdot 10 ^{4} m + 172 , 3 \cdot 10 ^{4} m )} =$

$= \frac{16885 , 4 \cdot 10 ^{11} \frac{N \cdot m ^{2}}{k g}}{175 , 5 \cdot 347 , 8 \cdot 10 ^{4} m} = \frac{16885 , 4 \cdot 10 ^{11} \frac{k g \cdot \frac{m}{s ^{2}} \cdot m ^{2}}{k g}}{175 , 5 \cdot 347 , 8 \cdot 10 ^{4} m} =$

$= \frac{168 854 \cdot 10 ^{10} \frac{m ^{2}}{s ^{2}} \cdot m}{61 038 , 9 \cdot 10 ^{4} m} \approx 2, 766375 \cdot 10^{6} \frac{m ^{2}}{s ^{2}} \approx$

$\approx 1, 66324 \cdot 10^{3} \frac{m}{s} \approx 1663, 2 \frac{m}{s}$

Sonda przechodzi z orbity kołowej na eliptyczną. Wówczas zmiana prędkości wynosi:

$Δ v = v_{A} - v_{1}$

Wówczas otrzymujemy, że:

$Δ v = 1663, 2 \frac{m}{s} - 1670, 9 \frac{m}{s} = - 7, 7 \frac{m}{s}$

Z tego wynika, że sonda powinna hamować.

$b)$

Z podpunktu a) wiemy, że prędkość ciała poruszającego się po orbicie eliptycznej ma postać:

$v_{B} = \frac{2 \cdot G \cdot M _{K} \cdot r _{1}}{r _{2} \cdot ( r _{1} + r _{2} )}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_{B} = \frac{2 \cdot 49 \cdot 10 ^{11} \frac{N \cdot m ^{2}}{k g} \cdot 175 , 5 \cdot 10 ^{4} m}{172 , 3 \cdot 10 ^{4} m \cdot ( 175 , 5 \cdot 10 ^{4} m + 172 , 3 \cdot 10 ^{4} m )} =$

$= \frac{17 199 \cdot 10 ^{11} \frac{k g \cdot \frac{m}{s ^{2}} \cdot m ^{2}}{k g}}{172 , 3 \cdot 347 , 8 \cdot 10 ^{4} m} = \frac{171 990 \cdot 10 ^{10} \frac{m ^{2}}{s ^{2}} \cdot m}{59 925 , 94 m} \approx$

$\approx 2, 87 \cdot 10^{6} \frac{m ^{2}}{s ^{2}} \approx 1, 6941 \cdot 10^{3} \frac{m}{s} \approx 1694, 1 \frac{m}{s}$

Możemy wywnioskować również, że prędkość ciała poruszającego się po orbicie kołowej o promieniu r₂ będzie miała postać:

$v_{2} = \frac{G \cdot M _{K}}{r _{2}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_{2} = \frac{49 \cdot 10 ^{11} \frac{N \cdot m ^{2}}{k g}}{172 , 3 \cdot 10 ^{4} m} = \frac{490 \cdot 10 ^{10} \frac{k g \cdot \frac{m}{s ^{2}} \cdot m ^{2}}{k g}}{172 , 3 \cdot 10 ^{4} m}$

$\approx 2, 84388 \cdot 10^{6} \frac{m ^{2}}{s ^{2}} \approx 1, 68638 \cdot 10^{3} \frac{m}{s} \approx 1 686, 4 \frac{m}{s}$

Sonda przechodzi z orbity eliptycznej na orbitę kołową. Wówczas zmiana jej prędkości wynosi:

$Δ v = v_{2} - v_{B}$

Wówczas otrzymujemy, że:

$Δ v = 1686, 4 \frac{m}{s} - 1694, 1 \frac{m}{s} = - 7, 7 \frac{m}{s}$

Z tego wynika, że sonda powinna hamować.

$c)$

Sonda znajdująca się na wysokości h₂ nad powierzchnią Księżyca posiada pewną energię potencjalną. Natomiast sonda uderzająca w powierzchnie księżyca posiada energie potencjalna i kinetyczną. Energię potencjalną sondy znajdującej się na wysokości h₂ nad powierzchnią Księżyca oraz znajdującą się po jego przeciwnej stronie względem punktu C przedstawimy wzorem:

$E_{p 1} = - \frac{G \cdot M _{K} \cdot m}{r _{2} + R _{K}}$

Natomiast energię potencjalna sondy, która spadła na powierzchnię Księżyca przedstawimy wzorem:

$E_{p 2} = - \frac{G \cdot M _{K} \cdot m}{R _{K}}$

Energia kinetyczna sondy, w momencie gdy zaczyna spadać wynosi:

$E_{k 1} = 0$

Energia kinetyczna sondy, która uderzyła o powierzchnie księżyca będzie miała postać:

$E_{k 2} = \frac{m \cdot v _{c}^{2}}{2}$

Wówczas korzystając z zasady zachowania energii otrzymujemy, że:

$E_{p 2} + E_{k 2} = E_{p 1} + E_{k 1}$

$- \frac{G \cdot M _{K} \cdot m}{R _{K}} + \frac{m \cdot v _{c}^{2}}{2} = - \frac{G \cdot M _{K} \cdot m}{r _{2} + R _{K}} + 0$

$- \frac{G \cdot M _{K} \cdot m}{R _{K}} + \frac{m \cdot v _{c}^{2}}{2} = - \frac{G \cdot M _{K} \cdot m}{r _{2} + R _{K}} ∣ : m$

$- \frac{G \cdot M _{K}}{R _{K}} + \frac{v _{c}^{2}}{2} = - \frac{G \cdot M _{K}}{r _{2} + R _{K}} ∣ + \frac{G \cdot M _{K}}{R _{K}}$

$\frac{v _{c}^{2}}{2} = - \frac{G \cdot M _{K}}{r _{2} + R _{K}} + \frac{G \cdot M _{K}}{R _{K}}$

$\frac{v _{c}^{2}}{2} = G \cdot M_{K} \cdot (\frac{1}{R _{K}} - \frac{1}{r _{2} + R _{K}})$

$\frac{v _{c}^{2}}{2} = G \cdot M_{K} \cdot (\frac{r _{2} + R _{K}}{R _{K} \cdot ( r _{2} + R _{K} )} - \frac{R _{K}}{R _{K} \cdot ( r _{2} + R _{K} )})$

$\frac{v _{c}^{2}}{2} = G \cdot M_{K} \cdot \frac{r _{2} + R _{K} - R _{K}}{R _{K} \cdot ( r _{2} + R _{K} )}$

$\frac{v _{c}^{2}}{2} = G \cdot M_{K} \cdot \frac{r _{2}}{R _{K} \cdot ( r _{2} + R _{K} )}$

$\frac{v _{c}^{2}}{2} = \frac{G \cdot M _{K} \cdot r _{2}}{R _{K} \cdot ( r _{2} + R _{K} )} ∣ \cdot 2$

$v_{c}^{2} = \frac{2 \cdot G \cdot M _{K} \cdot r _{2}}{R _{K} \cdot ( r _{2} + R _{K} )} ∣$

$v_{c} = \frac{2 \cdot G \cdot M _{K} \cdot r _{2}}{R _{K} \cdot ( r _{2} + R _{K} )}$

Wiemy, że:

$r_{2} = h_{2} + R_{K}$

Wówczas:

$v_{c} = \frac{2 \cdot G \cdot M _{K} \cdot ( h _{2} + R _{K} )}{R _{K} \cdot ( h _{2} + R _{K} + R _{K} )}$

$v_{c} = \frac{2 \cdot G \cdot M _{K} \cdot ( h _{2} + R _{K} )}{R _{K} \cdot ( h _{2} + 2 \cdot R _{K} )}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_{c} = \frac{2 \cdot 49 \cdot 10 ^{11} \frac{N \cdot m ^{2}}{k g} \cdot ( 2 , 3 \cdot 10 ^{4} m + 170 \cdot 10 ^{4} m )}{170 \cdot 10 ^{4} m \cdot ( 2 , 3 \cdot 10 ^{4} m + 2 \cdot 170 \cdot 10 ^{4} m )} = \frac{98 \cdot 10 ^{11} \frac{N \cdot m ^{2}}{k g} \cdot 172 , 3 \cdot 10 ^{4} m}{170 \cdot 10 ^{4} m \cdot ( 2 , 3 \cdot 10 ^{4} m + 340 \cdot 10 ^{4} m )} =$

$= \frac{16885 , 4 \cdot 10 ^{15} \frac{N \cdot m ^{3}}{k g}}{170 \cdot 10 ^{4} m \cdot 342 , 3 \cdot 10 ^{4} m} = \frac{168854 \cdot 10 ^{14} \frac{k g \cdot \frac{m}{s ^{2}} \cdot m ^{3}}{k g}}{58191 \cdot 342 , 3 \cdot 10 ^{8} m ^{2}} = \frac{168854 \cdot 10 ^{14} \frac{m ^{4}}{s ^{2}}}{58191 \cdot 342 , 3 \cdot 10 ^{8} m ^{2}} \approx$

$\approx 2, 90172 \cdot 10^{6} \frac{m ^{2}}{s ^{2}} \approx 1, 703 \cdot 10^{3} \frac{m}{s} = 1703 \frac{m}{s}$

$d)$

W zadaniu podane mamy, że:

$m = 200 k g$

Sonda uderzając w Księżyc wydzieliła całą swoją energię kinetyczną. Oznacza to, że ciepło jakie wydzieliło się jest równe energii kinetycznej:

$Q = E_{k 2}$

$Q = \frac{m \cdot v _{c}^{2}}{2}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$Q = \frac{200 k g \cdot ( 1703 \frac{m}{s} ) ^{2}}{2} = \frac{200 k g \cdot 2900209 \frac{m ^{2}}{s ^{2}}}{2} = \frac{580041800 k g \cdot \frac{m ^{2}}{s ^{2}}}{2} = 290020900 k g \cdot \frac{m ^{2}}{s ^{2}} \approx 290 \cdot 10^{6} J = 290 M J$

Ewelina Wysopal

Nauczycielka fizyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.