Z dna jeziora, gdzie temperatura...- Zadanie 7.4.10.: Zrozumieć fizykę. Zbiór zadań 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$T_{1} = 7^{\circ} C = 280 K$

$T_{2} = 17^{\circ} C = 290 K$

$ρ = 10^{3} \frac{k g}{m ^{3}}$

$p_{0} = 10^{5} P a$

$g = 10 \frac{m}{s ^{2}}$

$V_{2} = 2 V_{1}$

Ciśnienie pęcherzyka na dnie jeziora będzie sumą ciśnienia atmosferycznego i ciśnienia hydrostatycznego:

$p_{1} = p_{0} + p_{h}$

gdzie p₀ jest ciśnieniem atmosferycznego, p_h jest ciśnieniem hydrostatycznym. Ciśnienie hydrostatyczne wyrażamy wzorem:

$p_{h} = ρ g h$

gdzie ρ jest gęstością cieczy, g jest przyspieszeniem ziemskim, h jest wysokością cieczy. W naszym przypadku wysokość cieczy odpowiada głębokości jeziora. Wówczas ciśnienie na dnie jeziora będzie miało postać:

$p_{1} = p_{0} + ρ g h$

Ciśnienie na powierzchni będzie równe ciśnieniu atmosferycznemu:

$p_{2} = p_{0}$

Skorzystajmy z równania Clapeyrona:

$p V = n R T$

gdzie p jest ciśnieniem, V jest objętością, n jest liczbą moli, R jest stałą gazową, T jest temperaturą. Wówczas otrzymujemy, że równanie Clapeyrona na dnie jeziora będzie miało postać:

$p_{1} V_{1} = n_{1} R T_{1}$

Natomiast po wypłynięciu na powierzchnię, pęcherzyk będzie miał równanie Clapeyrona w postaci:

$p_{2} V_{2} = n_{2} R T_{2}$

Pęcherzyk wypływając na powierzchnię będzie miał taką sama liczbę moli jak na dnie jeziora:

$n_{1} = n_{2}$

Wyznaczmy zatem z równań dla pęcherzyka na dnie jeziora i na powierzchni iloczyn liczby moli i stałej gazowej:

$p_{1} V_{1} = n_{1} R T_{1} ∣ : T$

$\frac{p _{1} V _{1}}{T _{1}} = n_{1} R$

Zamieniamy stronami:

$n_{1} R = \frac{p _{1} V _{1}}{T _{1}}$

Dla pęcherzyka na powierzchni mamy, że:

$n_{2} R = \frac{p _{2} V _{2}}{T _{2}}$

Porównajmy te zależności i wyznaczmy korzystając z powyższych zależności głębokość jeziora:

$n_{1} R = n_{2} R$

$\frac{p _{1} V _{1}}{T _{1}} = \frac{p _{2} V _{2}}{T _{2}}$

$\frac{p _{1} V _{1}}{T _{1}} = \frac{p _{2} 2 V _{1}}{T _{2}} ∣ : V_{1}$

$\frac{p _{1}}{T _{1}} = \frac{2 p _{2}}{T _{2}}$

$\frac{p _{0} + ρ g h}{T _{1}} = \frac{2 p _{0}}{T _{2}} ∣ \cdot T_{1}$

$p_{0} + ρ g h = 2 p_{0} \frac{T _{1}}{T _{2}} ∣ - p_{0}$

$ρ g h = 2 p_{0} \frac{T _{1}}{T _{2}} - p_{0}$

$ρ g h = (2 \frac{T _{1}}{T _{2}} - 1) p_{0}$

$ρ g h = (2 \frac{T _{1}}{T _{2}} - \frac{T _{2}}{T _{2}}) p_{0}$

$ρ g h = \frac{( 2 T _{1} - T _{2} ) p _{0}}{T _{2}} ∣ : ρ g$

$h = \frac{( 2 T _{1} - T _{2} ) p _{0}}{T _{2} ρ g}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$h = \frac{( 2 \cdot 280 K - 290 K ) \cdot 10 ^{5} P a}{290 K \cdot 10 ^{3} \frac{k g}{m ^{3}} \cdot 10 \frac{m}{s ^{2}}} = \frac{( 560 K - 290 K ) \cdot 100 000 \frac{k g}{m \cdot s ^{2}}}{290 K \cdot 1000 \frac{k g}{m ^{3}} \cdot 10 \frac{m}{s ^{2}}} = \frac{270 K \cdot 100 000 \frac{k g}{m \cdot s ^{2}}}{2 900 000 K \cdot \frac{k g}{m ^{2} \cdot s ^{2}}} =$

$= \frac{27 000 000 K \cdot \frac{k g}{m \cdot s ^{2}}}{2 900 000 K \cdot \frac{k g}{m ^{2} \cdot s ^{2}}} \approx 9, 3 m$

Ewelina Wysopal

Nauczycielka fizyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.