Autorzy:Bogdan Mendel, Janusz Mendel, Teresa Stolecka, Elżbieta Wójtowicz

Wydawnictwo:Nowa Era

Rok wydania:2015

Z wieży o wysokości H=12,8 m oddano strzał w kierunku... 4.44 gwiazdek na podstawie 9 opinii
  1. Liceum
  2. 1 Klasa
  3. Fizyka

Z wieży o wysokości H=12,8 m oddano strzał w kierunku...

1.8.12.
 Zadanie
1.8.13.
 Zadanie
1.8.14.
 Zadanie

1.8.15.
 Zadanie

Wypisujemy dane podane w zadaniu:

`H=12,8\ m` 

`v_(01)=14\ m/s` 

 

`a)` 

Opisujemy współrzędne pocisku.

Współrzędna x-owa wynika z tego, że wzdłóż osi x pocisk poruszanie się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Dlatego możemy zapisać, że:

`x_1(t)=v_(01)*t`   

Współrzędna y-owa wynika, ze zmiany położenia w ruchu jednostajnie przyspieszonym. To znaczy, że jeśli ogólny wzór na położenie w tym ruchu ma postać:

`x=x_0+(a t^2)/2` 

To dla naszgo przypadku mamy, że:

`x=y_1(t)` 

`x_0=H` 

`a=-g`  

Czyli otrzymujemy:

`y_1(t)=H-(g t^2)/2` 

Opisujemy współrzędne rzutki.

Współrzędną x-ową możemy opisać przy użyciu wzoru na zasięg rzutu ukośnego. Ogólny wzór ma postać:

`Z=v_x*t` 

Dla naszgo przypadku mamy, że:

`Z=x_2(t)` 

`v_x=v_(02)cosalpha` 

Czyli otrzymujemy:

`x_2(t)=v_(02)*t*cosalpha` 

Współrzędna y-owa wynika, ze zmiany położenia w ruchu jednostajnie przyspieszonym. To znaczy, że jeśli ogólny wzór na położenie w tym ruchu ma postać:

`x=x_0+(a t^2)/2` 

To dla naszgo przypadku mamy, że:

`x=y_2(t)` 

Położenie początkowe zależy od prędkości pionowej rzutki:

`x_0=v_y*t =v_(02)*t*sinalpha `  

`a=-g`  

Czyli otrzymujemy:

`y_2(t)=v_(02)*t*sinalpha-(g t^2)/2` 

Podsumowując mamy, że:

`{(x_1(t)=v_(01)*t),(y_1(t)=H-(g t^2)/2):}` 

`{(x_2(t)=v_(02)*t*cosalpha),(y_2(t)=v_(02)*t*sinalpha-(g t^2)/2):}` 

Aby pocisk trafił w rzuktę, współrzędne rzutki i pocisku muszą być takie same.

`{(x_1(t)=x_2(t)),(y_1(t)=y_2(t)):} ` 

`{(v_(01)*t=v_(02)*t*cosalpha\ \ \ \ |:t) , (H-(g t^2)/2=v_(02)*t*sinalpha-(g t^2)/2\ \ \ \ |+(g t^2)/2 ):}` 

`{( v_(01)=v_(02)cosalpha ) , (H=v_(02)*t*sinalpha ) :}` 

`{(v_(02)=(v_(01))/(cosalpha)) ,(), (t=H/(v_(02)*sinalpha)):}` 

`{(v_(02)=(v_(01))/(cosalpha)) ,(), (t=H/((v_(01))/(cosalpha)*sinalpha)):}`

`{(v_(02)=(v_(01))/(cosalpha)),() , ( t=H/(v_(01)*tg alpha) ):}`    

 

`b)` 

 

Pytamy powyżej jakiej wartości kąta rzutka może zostać trafiona przez pocisk. Oznacza to, że musimy zbadać przypadek, gdy:

`y_1(t)=y_2(t)` 

W podpukcie a) wykonaliśmy to porównanie i otrzymaliśmy, że:

`t=H/(v_(01)*tgalpha)`  

Przekształcając ten wzór otzymujemy, że:

`t*tgalpha=H/v_(01)` 

`tgalpha=H/(v_(01)*t)` 

Nie znamy czasu ruchu, ale możemy pokazać, że jeśli:

`H=(g t^2)/2\ \ =>\ \2H=g t^2\ \ =>\ \ t^2=(2H)/g\ \ =>\ \t=sqrt((2H)/g) ` 

Oznacza to, że:

`tg alpha=H/(v_(01)*sqrt((2H)/g))` 

`tgalpha=H/v_(01)*sqrt(g/(2H))` 

`tgalpha=1/v_(01)*sqrt((H^2*g)/(2H))` 

`tgalpha = 1/v_(01)*sqrt((Hg)/2)` 

Podstawiamy dane do wzoru:

`tgalpha=1/(14\ m/s)*sqrt((12,8\ m*9,81\ m/s^2)/2) = 0,0714\ s/m*sqrt((125,568\ m^2/s^2)/2) = 0,0714\ s/m*sqrt(62,784\ m^2/s^2)=0,0714\ s/m*7,9236\ m/s=0,5657 `    

``Z tablic trygonometrycznych odczytujemy, że:

`alpha~~30^@` 

Oznacza to, że rzutka może zostać trafiona przez pocisk powyżej kąta równego 30°.

`alpha>30^@`   

 

`c)` 

Należy zauważyć, że:

`45^@>30^@` 

Czyli rzutka zostanie trafiona pod kątem 45°.

Prędkość rzutki wyznaczamy korzystając z zależności wyznaczonej w podpunkcie a).

`v_(02)=v_(01)/(cosalpha)` 

Podstawiamy dane do wzoru:

`v_(02)=(14\ m/s)/(cos45^@)=(14\ m/s)/(sqrt2/2)=(14\ m/s)/(0,7071)=19,799\ m/s~~17,8\ m/s`