Matematyka

Matematyka wokół nas 2 (Podręcznik, WSiP)

Przed rozwiązaniem układu równań podejmij decyzję, z której metody wygodniej jest 4.53 gwiazdek na podstawie 17 opinii
  1. Gimnazjum
  2. 2 Klasa
  3. Matematyka

Przed rozwiązaniem układu równań podejmij decyzję, z której metody wygodniej jest

2
 Zadanie

3
 Zadanie

`a)`  `"metoda podstawiania"`

`{(x=4-3y), (x+y=-6):}` 

`{(x=4-3y), (4-3y+y=-6):}` 

`{(x=4-3y), (4-2y=-6\ \ \ |-4):}` 

`{(x=4-3y), (-2y=-10\ \ \ |:(-2)):}` 

`{(x=4-3y), (y=5):}` 

`{(x=4-3*5=4-15=-11), (y=5):}` 

 

`"spr."\ {(-11=^?4-3*5), (-11+5=^?-6):}` 

`\ \ \ \ \ \ {(-11=^?4-15\ \ \ "tak"), (-6=^?-6\ \ \ "tak"):}` 

 

 

 

`b)`  `"metoda przeciwnych współczynników"`

`{(-2x+y=-8\ \ \ |*2), (4x-3y=2):}` 

`{(-4x+2y=-16), (4x-3y=2):}\ \ \ |+` 

`-y=-14\ \ \ |*(-1)` 

 `y=14` 

`"Wstawiamy wyliczonego y do pierwszego równania."`

`-2x+14=-8\ \ \ |-14` 

`-2x=-22\ \ \ |:(-2)` 

`x=11` 

`{(x=11), (y=14):}` 

 

`"spr."\ {(-2*11+14=^?-8), (4*11-3*14=^?2):}` 

`\ \ \ \ \ \ {(-22+14=^?-8\ \ \ "tak"), (44-42=^?2\ \ \ "tak"):}` 

 

 

 

`c)` `"metoda podstawiania"`

`{(x+7y=22), (y=5x-2):}` 

`{(x+7(5x-2)=22), (y=5x-2):}` 

`{(x+35x-14=22), (y=5x-2):}` 

`{(36x-14=22\ \ \|+14), (y=5x-2):}` 

`{(36x=36\ \ \ |:36), (y=5x-2):}` 

`{(x=1), (y=5*1-2=5-2=3):}` 

 

`"spr."\ {(1+7*3=^?22), (3=^?5*1-2):}` 

`\ \ \ \ \ \ {(1+21=^?22\ \ \ "tak"), (3=^?5-2\ \ \ "tak"):}`   

 

 

 

`d)`   `"metoda przeciwnych współczynników"`

`{(x-3y=-4\ \ \ |*(-5)), (5x-2y=-7):}`   

`{(-5x+15y=20), (5x-2y=-7):}\ \ \ |+` 

`13y=13\ \ \ |:13` 

`y=1` 

`"Wstawiamy wyliczonego y do pierwszego równania."`

`x-3*1=-4` 

`x-3=-4\ \ \ |+3` 

`x=-1` 

`{(x=-1), (y=1):}` 

 

`"spr."\ {(-1-3*1=^?-4), (5*(-1)-2*1=^?-7):}`  

`\ \ \ \ \ \ {(-1-3=^?-4\ \ \ "tak"), (-5-2=^?-7\ \ \ "tak"):}` 

 

 

 

`e)` `"metoda przeciwnych współczynników"`

`{(-3x-2y=-2\ \ \ |*2), (2x+3y=-2\ \ \ |*3):}` 

`{(-6x-4y=-4), (6x+9y=-6):}\ \ \ |+` 

`5y=-10\ \ \ |:5` 

`y=-2` 

`"Wstawiamy wyliczonego y do drugiego równania."`

`2x+3*(-2)=-2` 

`2x-6=-2\ \ \ |+6` 

`2x=4\ \ \ |:2` 

`x=2` 

`{(x=2), (y=-2):}` 

 

`"spr."\ {(-3*2-2*(-2)=^?-2), (2*2+3*(-2)=^?-2):}`  

`\ \ \ \ \ \ {(-6+4=^?-2\ \ \ "tak"), (4-6=^?*-2\ \ \ "tak"):}`   

 

 

 

`f)` `"metoda podstawiania"`

`{(y=2x-8), (-12x+9y=-6):}` 

`{(y=2x-8), (-12x+9(2x-8)=-6):}` 

`{(y=2x-8), (-12x+18x-72=-6):}` 

`{(y=2x-8), (6x-72=-6\ \ \ |+72):}` 

`{(y=2x-8), (6x=66\ \ \ |:6):}` 

`{(y=2x-8), (x=11):}` 

`{(y=2*11-8), (x=11):}` 

`{(y=14), (x=11):}` 

 

`"spr."\ {(14=^?2*11-8), (-12*11+9*14=^?-6):}` 

`\ \ \ \ \ \ {(14=^?22-8\ \ \ "tak"), (-132+126=^?-6\ \ \ "tak"):}`  

DYSKUSJA
Informacje
Matematyka wokół nas 2
Autorzy: A. Drążek, E.Duvnjak, Ewa Kokiernak-Jurkiewicz
Wydawnictwo: WSiP
Rok wydania:
Autor rozwiązania
user profile image

Nauczyciel

Masz wątpliwości co do rozwiązania?

Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY0ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA0WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE0KOMENTARZY
komentarze
... i0razy podziękowaliście
Autorom
Wiedza
System rzymski

System rzymski jest systemem zapisywania liczb, który w przeciwieństwie do zapisu pozycyjnego, pozwala zapisać liczby przy pomocy znaków o zawsze ustalonej wartości.

Wyróżniamy cyfry podstawowe:

  • I = 1
  • X = 10
  • C = 100
  • M = 1000

oraz cyfry pomocnicze:

  • V = 5
  • L = 50
  • D = 500

Korzystając z systemu rzymskiego liczbę naturalną przedstawiamy jako ciąg powyższych cyfr uporządkowanych od wartości największej do najmniejszej, a wartość liczby jest równa sumie wartości poszczególnych cyfr.

Przykłady:

  • XV → 10+5=15
  • XXXII → 10+10+10+1+1=32
  • CXXVII → 100+10+10+5+1+1=127
  • MDLVII → 1000+500+50+5+1+1=1557

W celu uproszczenia wielu zapisów dopuszcza się umieszczenie cyfry podstawowej o mniejszej wartości przed cyfrą o większej wartości. W takim jednak przypadku wartość mniejszej cyfry uważamy za ujemną.

Przykłady:

  • IX → -1+10=10-1=9
  • CD → -100+500=500-100=400
  • XLII → -10+50+1+1=50-10+2=42
  • CML → -100+1000+50=1000-100+50=950

Ważne jest, że w systemie rzymskim możemy zapisać maksymalnie 3 takie same cyfry podstawowe (czyli I, X, C, M) obok siebie. Cyfry pomocnicze (czyli V, L, D) nie mogą występować obok siebie.

Przykład:

  • XXXII → 10+10+10+1+1=32

  Ciekawostka

System rzymski pochodzi od wysoko rozwiniętej cywilizacji Etrusków (ok. 500 r. p.n.e.). Początkowo zapisywano liczby za pomocą pionowych kresek I,II,III,IIII,IIIII,... .

Rzymianie przejęli cyfry od Etrusków i poddali je pewnym modyfikacjom oraz udoskonaleniom, co dało początki dzisiaj znanemu systemowi rzymskiemu.

Cyfr rzymskich używano na terenie imperium aż do jego upadku w V w. n.e. W średniowieczu stały się standardowym systemem liczbowym całej łacińskiej Europy, jednak pod koniec tej epoki coraz częściej używano już cyfr arabskich, prostszych i wygodniejszych do obliczeń oraz zapisywania dużych liczb. System rzymski stopniowo wychodził z codziennego użycia, chociaż do dziś jest powszechnie znany w Europie i stosowany do wielu celów.

Ułamki dziesiętne i ich budowa
Ułamki dziesiętne to takie ułamki, których mianownikami są liczby 10, 100, 1000...

Przykłady:

  • $$1/{10}= 0,1$$
  • $$2/{100}= 0,02$$
  • $${15}/{100}= 0,15$$
  • $$3/{1000}= 0,003$$
  • $${25}/{10}= 2,5$$

Ułamki dziesiętne zapisujemy bez użycia kreski ułamkowej, natomiast stosujemy przecinek (zwany przecinkiem dziesiętnym), który oddziela część całkowitą od części ułamkowej.
 

rys1
 

Pierwsze miejsce po przecinku oznacza części dziesiąte, drugie - części setne, trzecie - części tysiączne, czwarte - części dziesięciotysięczne itd.

Przykład:

cyfry po przecinku
 

Powyższy ułamek możemy rozpisać:

$$0,781= {700}/{1000}+{80}/{1000}+1/{1000}=7/{10}+8/{100}+1/{1000}$$ -> łatwo zauważyć, że 7 to części dziesiąte, 8 części setne, a 1 to części tysięczne.

  Ciekawostka

Zapis dziesiętny liczb został opracowany w XV wieku przez perskiego matematyka Al-Kaszi, w jego dziele Miftah al-hisab (Klucz do arytmetyki). Rozpowszechnienie zawdzięczamy jednak holenderskiemu uczonemu Simonowi Stevinowi, który 1585 r. w swej pracy De Thiende (Dziesięcina) omówił istotę ułamków dziesiętnych. Notacja Stevina odbiegała od obecnie stosowanej i była dość skomplikowana, została więc szybko zmieniona. Liczby z przecinkiem błyskawicznie przyjęły się i liczbę wymierną można było wyrazić już nie tylko w postaci ułamka zwykłego. Oddzielenie przecinkiem całości od części dziesiętnych było pomysłem angielskiego matematyka. J. Nepera.

Zobacz także
Udostępnij zadanie