III gimnazjum

Matematyka z plusem 3

a) każde dwa dowolne okręgi są figurami podobnymi

Rozwiązanie 1

Gdy  k=2,  to długości wszystkich odcinków będą dwa razy dłuższe. Rysunek:

a) k=4 3a​=4 a=12cm 5b​=4 b=20cm 6c​=4 c=24cm b) k=21​

obliczamy skale czworokątów: k=1620​=45​

Stosunek większej do mniejszej figury wynosi

Bok dużego kwadratu wynosi a. Przekątna mniejszego kwadratu wynosi a=b2<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​⇒b=2<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​a​

Stosunek długości boku a do przekątnej d w jednym prostokącie jest taki sam jak w drugim skoro są to prostokąty podobne: da​=d′a′​

Stosunki boków są taki same czyli

Znamy długości boków równoległoboku ABCD 30 cm i 45 cm. Obliczamy obwód równoległoboku ABCD. OABCD​=2⋅30+2⋅45=60+90=150 [cm]     Z treścia zadania znamy obwód równoległoboku A'B'C'D': OA′B′C′D′​=18 cm

Obwód równoległoboku ABCD wynosi: 2*30+2*45=60+90=150cm Skala podobieństwa wynosi OA′B′C′D′​OABCD​​=k 18150​=k

Obliczamy długość boku rombu ABCD z tw. Pitagorasa: a2=32+42 a2=9+16

Obliczamy skale rysunków: 410​=k