III gimnazjum

Matematyka wokół nas 3

Rozwiązanie 1

wysokość drzewa - 4,8m wysokość masztu - x długość cienia masztu - 5,5m długość cienia drzewa - 1,5m Zastosujmy proporcje: 1,54,8​=5,5x​

Obliczmy najpierw długosˊcˊ odcinka BK z tw. Pitagorasa: ∣BK∣2+∣KL∣2=∣BL∣2 ∣BK∣2+(4,8)2=52

pierwszy przypadek​​   Cięciwa 10 cm to cięciwa większego okręgu.  Wykonajmy rysunek pomocniczy. Niech O będzie środkiem większego okręgu, S - środkiem mniejszego okręgu. Punkt N to punkt styczności okręgów.  Znamy długości odcinków: ∣ON∣=∣OM∣=16 cm   ∣SN∣=∣SR∣=6 cm

Utwoˊrzmy rysunek pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/23084/E4J26nPK59bfJ0QOX1jIEQ%3D%3D_4b6f915ef676aeeb05d52a7b191c075d59f720f6fa7fb9dbf8d0a21cdf548531.png" width="429" height="328"> Z tw. Pitagorasa moz˙emy policzycˊ wysokosˊcˊ troˊjkąta (h) oraz x i y za pomocą układu roˊwnanˊ: h2+x2=502 h2+y2=522 x+y=34 Podstawiając y=34−x z trzeciego roˊwnania do drugiego otrzymujemy: h2+x2=2500 h2+(34−x)2=2704 Czyli:

Z tw. Pitagorasa długość przeciwprostokątnej jest równa: 182+242=x2 x=324+576<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​=900<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​=30

Utwoˊrzmy rysunek pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/23086/nl0AOsnUrmJiXU2RuzBzeA%3D%3D_1b027fa91c92ca37266095672bab9ca98433150007a07f2cdbd264aa479a0685.png" width="307" height="260"> Z tw. Talesa: ∣AE∣=∣EB∣ ∣BF∣=∣FC∣

Wprowadzˊmy rysunek pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/23087/Zln4Whz9Th9BIBHnqPhFsw%3D%3D_d99b030f5590df1d4681df8e906f91f736ca6cc3e1387f7444429ed815dac0e0.png" width="435" height="199"> Musimy pokazacˊ, z˙e wszystkie długosˊci bokoˊw figury EFGH są sobie roˊwne. Trapez jest roˊwnoramienny, więc rysunek jest symetryczny. Wystarczy zatem udowodnicˊ tylko, z˙e ∣EF∣=∣EH∣. Pokaz˙emy, z˙e ∣EF∣=∣EH∣, czyli, z˙e x=y.