III gimnazjum

Matematyka wokół nas 3

To doświadczenie losowe jest przykładem permutacji. Szukamy 4-znakowych haseł bez powtórzeń, w zbiorze składającym się z 4 znaków: P4​=4!=4⋅3⋅2⋅1=24 Możemy utworzyć 24 hasła 4-znakowe. Drzewko wygląda następująco: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/22768/aiusknnWIvJdQQZBBzIwZA%3D%3D_207b61e932f9b7eee694b162769688b48c3d4e69a7fa4dd9bd4a2c130228720c.png" width="640" height="332"> Poszczególne odgałęzienia oznaczają kolejne niepowtarzające się wyrazy złożone z 4 znaków. Łącznie jest ich 24.

Rozwiązanie 1

a) każdy rzut monetą oznacza 2 możliwości - albo wypadnie orzeł, albo wypadnie reszka. Formalnie ten zbiór możemy zapisać jako: Ω={(x,y,z):x∈{O,R},y∈{O,R},z∈{O,R}} Tych zdarzeń elementarnych jest 23 = 8.

a) Zbiorem zdarzeń elementarnych jest zbiór wyników losowania jednej kuli z trzech. Formalnie: Ω={x:x∈{B,C,Z}}

a) co najmniej pięć oczek - czyli mamy do wyboru 5, albo sześć oczek. Mamy zatem: P={1,2,3,4,5,6}​{5,6}​​=62​=31​

Zbiorem zdarzeń elementarnych jest zbiór: Ω={{x,y}:x∈{1,2,3,4,5,6},y∈{1,2,3,4,5,6}} Łącznie ten zbiór zawiera 62 = 36 elementów. Prawdopodobieństwa zdarzeń są następujące:   a) A - wypadła ta sama liczba oczek. Mogło wypaść zatem sześć możliwości (1 i 1, 2 i 2, i tak dalej): P=ΩA​=366​=61​

Losowanie bez zwracania 2 kul z trzech jest przykładem wariacji bez powtórzeń (zbiór ma 3 elementy, a losujemy dwa różne elementy).  Liczba wszystkich możliwych wariacji bez powtórzeń, czyli moc zbioru Ω wynosi: V23​=(3−2)!3!​=1!3!​=3⋅2⋅1=6

Zbiór zdarzeń elementarnych Ω ma łącznie 24 elementy (czyli uczniowie, którzy wybierają dany środek transportu). Moc tego zbioru wynosi zatem 24. Obliczmy teraz poszczególne prawdopodobieństwa:   a) dojeżdża do szkoły autobusem. 9 osób wybrało ten środek transportu, zatem to zdarzenie (oznaczmy przez A) ma 9 elementów, a prawdopodobieństwo wynosi: P=ΩA​=249​=83​

Losowanie jednej karty z 52 kart jest przykładem kombinacji bez powtórzeń. Moc zbioru Ω to ilość możliwych losowań, oznaczana przez wzór na kombinację bez powtórzeń: C152​=1!⋅(52−1)!52!​=1!⋅51!52!​=52 Obliczmy teraz poszczególne prawdopodobieństwa.   a) wylosowania damy. W talii kart znajdują się 4 damy (pik, kier, karo, trefl), zatem wylosowanie damy oznacza wylosowanie jednej możliwości z czterech (kombinacji bez powtórzeń). Moc tego zbioru (oznaczmy przez A) wynosi: C14​=1!⋅3!4!​=4 Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi więc: P(A)=ΩA​=524​=131​