III gimnazjum

Matematyka wokół nas 3

Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Przekształcenie symetryczne względem prostej zawierającej bok AB oznacza, że bok AB staje się wysokością nowego trójkąta&nbsp;AC1C, a B jest środkiem podstawy&nbsp;C1C. Mamy zatem: ∣C1​C∣=2⋅∣BC∣=8 cm

Przekształcenie przez symetrię środkową trójkąta względem punktu środkowego przeciwprostokątnej daje nam prostokąt o bokach 5 cm i 12 cm. Przekątna (d) tego prostokąta jest równa: d=52+122<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.28em' viewBox='0 0 400000 1296' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M263,681c0.7,0,18,39.7,52,119
c34,79.3,68.167,158.7,102.5,238c34.3,79.3,51.8,119.3,52.5,120
c340,-704.7,510.7,-1060.3,512,-1067
l0 -0
c4.7,-7.3,11,-11,19,-11
H40000v40H1012.3
s-271.3,567,-271.3,567c-38.7,80.7,-84,175,-136,283c-52,108,-89.167,185.3,-111.5,232
c-22.3,46.7,-33.8,70.3,-34.5,71c-4.7,4.7,-12.3,7,-23,7s-12,-1,-12,-1
s-109,-253,-109,-253c-72.7,-168,-109.3,-252,-110,-252c-10.7,8,-22,16.7,-34,26
c-22,17.3,-33.3,26,-34,26s-26,-26,-26,-26s76,-59,76,-59s76,-60,76,-60z
M1001 80h400000v40h-400000z'/></svg>​=25+144<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​=169<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​=13cm

Trójkąt jest symetryczny względem osi OX. Punkt L jest zatem symetryczny wobec takiego punktu z dwóch pozostałych, którego współrzędna y nie jest zerowa. Takim punktem jest punk K = (-3, 4). Punkt L wynosi zatem L = (-3, -4). Pole trójkąta jest równe: PCKL​=21​∣KL∣⋅d(∣KL∣,C)=21​⋅8⋅6=24

Symetria względem OX oznacza, że współrzędne po y są przeciwne, a po x są takie same. Mamy zatem: m−3=−1

Symetria dwóch punktów względem osi y oznacza, że współczynniki obydwu punktów po współrzędnej x są przeciwne, a po współrzędnej y są takie same. Mamy zatem: 5−2a=−(3a+1)

Z warunk ów zadania widzimy, że punkty K i M są symetryczne względem osi x. Punkt L jest zatem symetryczny względem osi y. Punkt N ma zatem współrzędne N = (-4, 0). Czworokąt jest zatem rombem i pole wynosi:

Symetria względem początku układu współrzędnych oznacza, że trzy współrzędne mają przeciwne wartości x i y do pozostałych trzech. Mamy zatem:

Środkiem symetrii jest punkt O = (0, 0). Oznacza to, że wierzchołek C jest symetryczny względem O do punktu A. Mamy zatem: A &nbsp;= (-6, 0) Aby punkt D i B tworzył z punktami A i B kwadrat, odcinek |DB| = |AC|. Dodatkowo musi być |DO|=|OB|. Nie musimy szukać współrzędnych kwadratu, gdyż pole jest równe: P=21​⋅∣AC∣⋅∣DB∣=21​⋅∣AC∣⋅∣AC∣=21​⋅12⋅12=72

Z warunków zadania otrzymujemy układ równań: {3−2m=−(m+2)−5=−(−3n+4)​

Komentarze