Wiemy, że każdy kąt wewnętrzny danego sześciokąta ma miarę $120^{\circ }$.

Rozpatrzmy czworokąt odcięty przez pierwszą prostą, przy którym znajdują się kąty $\alpha$ i $\beta$. Dwa pozostałe kąty tego czworokąta są kątami wewnętrznymi sześciokąta foremnego, więc każdy z nich ma miarę $120^{\circ }$.

Szkic pomocniczy:

Suma miar kątów wewnętrznych czworokąta wynosi $360^{\circ }$, więc:

$\alpha +\beta +120^{\circ }+120^{\circ }=360^{\circ }$

$\alpha +\beta +240^{\circ }=360^{\circ }$

$\alpha +\beta =120^{\circ }$

Udowodniliśmy więc, że:

$\alpha +\beta =120^{\circ }$

---

Teraz rozpatrzmy drugi czworokąt odcięty przez drugą prostą, przy którym znajdują się kąty $\gamma$ i $\delta$. Tak samo jak poprzednio, dwa pozostałe kąty tego czworokąta są kątami wewnętrznymi sześciokąta foremnego, czyli mają po $120^{\circ }$.

Zatem:

$\gamma +\delta +120^{\circ }+120^{\circ }=360^{\circ }$

$\gamma +\delta =120^{\circ }$

Skoro:

$\alpha +\beta =120^{\circ }$

oraz

$\gamma +\delta =120^{\circ }$

to otrzymujemy:

$\alpha +\beta =\gamma +\delta$

Czyli suma miar kątów $\alpha$ i $\beta$ jest równa $120^{\circ }$ oraz jest równa sumie miar kątów $\gamma$ i $\delta$.