a)

Rysujemy fragment wielokąta foremnego wpisanego w koło. Łączymy środek koła z dwoma sąsiednimi wierzchołkami wielokąta. Powstaje trójkąt równoramienny, którego ramionami są promienie koła.

Kąt wewnętrzny wielokąta ma miarę $170^{\circ }$. Promień poprowadzony do wierzchołka dzieli ten kąt na dwie równe części, więc kąt przy podstawie trójkąta równoramiennego ma miarę:

$\frac{170^{\circ }}{2}=85^{\circ }$

Szkic pomocniczy:

W trójkącie równoramiennym suma kątów wynosi $180^{\circ }$, więc kąt środkowy $\alpha$ ma miarę:

$\alpha =180^{\circ }-85^{\circ }-85^{\circ }=10^{\circ }$

Kąt pełny ma miarę  $360^{\circ }$, więc liczba takich równych części wynosi:

$n=\frac{360^{\circ }}{10^{\circ }}=36$

Odp.: Ten wielokąt ma $36$ boków.

---

b)

Załóżmy, że istnieje wielokąt foremny, którego każdy kąt wewnętrzny ma miarę $130^{\circ }$.

Promień poprowadzony do wierzchołka dzieli ten kąt na dwie równe części, więc:

$\beta =\frac{130^{\circ }}{2}=65^{\circ }$

Szkic pomocniczy:

W odpowiednim trójkącie równoramiennym kąt środkowy $\alpha$ wynosi:

$\alpha =180^{\circ }-65^{\circ }-65^{\circ }=50^{\circ }$

Gdyby taki wielokąt foremny istniał, koło musiałoby dać się podzielić na równe kąty środkowe po $50^{\circ }$. Liczymy liczbę części:

$n=\frac{360^{\circ }}{50^{\circ }}=7,2$

Liczba boków wielokąta musi być liczbą naturalną, a $7,2$ nią nie jest.

Odp.: Nie istnieje wielokąt foremny, którego kąty wewnętrzne mają miarę $130^{\circ }$.