Przypomnijmy: wielokąt foremny ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe.

Sześciokąt w trójkącie równobocznym

Niech bok trójkąta równobocznego ma długość $3a$. Wtedy każda z trzech równych części boku ma długość:

$\frac{1}{3}\cdot 3a=a$

Trzy boki sześciokąta leżą bezpośrednio na bokach trójkąta, więc każdy z nich ma długość $a$.

Pozostałe trzy boki sześciokąta odcinają przy wierzchołkach trójkąta małe trójkąty. Każdy z tych małych trójkątów ma dwa boki długości $a$ i kąt między nimi równy $60^{\circ }$, bo pochodzi z trójkąta równobocznego. Taki trójkąt jest równoboczny, więc trzeci bok też ma długość $a$.

Zatem wszystkie boki sześciokąta mają długość $a$.

Szkic pomocniczy:

Ponadto boki sześciokąta są równoległe do boków trójkąta równobocznego, więc kolejne boki tworzą kąty zewnętrzne po $60^{\circ }$. Kąt wewnętrzny sześciokąta ma więc miarę:

$180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$

Wszystkie kąty sześciokąta są równe.

Odp.: Tak, ten sześciokąt jest foremny.

---

Ośmiokąt w kwadracie

Niech bok kwadratu ma długość $3a$. Wtedy każda z trzech równych części boku kwadratu ma długość:

$\frac{1}{3}\cdot 3a=a$

Cztery boki ośmiokąta leżą na bokach kwadratu, więc mają długość $a$.

Pozostałe cztery boki ośmiokąta odcinają narożniki kwadratu. Każdy taki bok jest przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątne mają długości $a$ i $a$. W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest dłuższa od każdej przyprostokątnej, więc taki bok ośmiokąta ma długość większą niż $a$.

Zatem ośmiokąt ma boki dwóch różnych długości: część boków ma długość $a$, a część jest dłuższa niż $a$.

Szkic pomocniczy:

Odp.: Nie, ten ośmiokąt nie jest foremny.