Treść:

Punkty $K$ i $L$ są środkami - odpowiednio - boków $AB$ i $BC$ kwadratu $ABCD$ o bok długości $a$. Punkt $M$ jest takim punktem na boku $BC$, że odcinki $DK$ i $KM$są prostopadłe.

Odcinek $AL$ przecina odcinki $DK$ oraz $DM$ w punktach - odpowiednio - $P$ oraz $Q$ (zobacz rysunek).

Wykaż, że $\left|\mathbf{PQ}\right|=\frac{\sqrt{5}}{5}\mathbf{a}$.

---

---

Wyjaśnienie:

Umieśćmy kwadrat w kartezjańskim układzie współrzędnych w następujący sposób.

Mamy

$A=\left(0,0\right),B=\left(a,0\right),C=\left(a,a\right),D=\left(0,a\right)$

Wiemy, że

$L=\left(a,\frac{1}{2}a\right),K=\left(\frac{1}{2}a,0\right)$

Mamy trójkąty $ADK$ oraz $ABL$. Są podobne, ponieważ są prostokątne i mają takie same długości boków. Oznaczmy ich kąty jako $\alpha$ i $\beta$. Zaznaczmy je w kwadracie.

Oznacza to, że $\left|\sphericalangle APK\right|=180^{\circ }-\alpha -\beta =90^{\circ }$. Zatem $\left|\sphericalangle APQ\right|=90^{\circ }$, czyli $AL$ oraz $DK$ są prostopadłe oraz $AL$ jest równoległe do $KM$.

Korzystając z twierdzenia Talesa, ponieważ $AL$ jest równoległe do $KM$, otrzymujemy

$\frac{\left|AK\right|}{\left|KB\right|}=\frac{\left|LM\right|}{\left|MB\right|}$

$\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{1}{2}a}=\frac{\left|LM\right|}{\left|MB\right|}$

$\left|LM\right|=\left|MB\right|$

A to oznacza, że

$\left|LM\right|=\left|MB\right|=\frac{1}{4}a$

Otrzymujemy $M=\left(a,\frac{1}{4}a\right)$. 

---

Zapiszmy równania prostych, które przecinają się w punkcie $P$:

• $AL:y=\frac{1}{2}x$
  Jest tak, ponieważ ta prosta przechodzi przez punkt $A=\left(0,0\right)$ oraz $L=\left(a,\frac{1}{2}a\right)$.
• $DK:y=-2x+a$
  Jest tak, ponieważ ta prosta przychodzi przez punkt $D=(0,a)$ - więc wyraz wolny jest równy $a$ oraz jest prostopadła do  $AL$ - więc ma współczynnik kierunkowy przeciwny i odwrotny.

Obliczmy współrzędne punktu $P$.

$\frac{1}{2}x=-2x+a$

$\frac{5}{2}x=a$

$x=\frac{2}{5}a$

Stąd

$y=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{5}a=\frac{1}{5}a$

Otrzymaliśmy

$P=\left(\frac{2}{5}a,\frac{1}{5}a\right)$

---

Zapiszmy równania prostych, które przecinają się w punkcie $Q$:

• $AL:y=\frac{1}{2}x$
  Wiemy to  poprzednich wyliczeń.
• $DM:y=-\frac{3}{4}x+a$
  Jest tak, ponieważ prosta przechodzi przez punkt $D=\left(0,a\right)$ - więc wyraz wolny jest równy $a$ oraz $M=\left(a,\frac{1}{4}a\right)$ - zatem  przy zmianie o $a$ w prawo mamy zmianę o $\frac{3}{4}$ w dół.

Obliczamy współrzędne punktu $Q$:

$\frac{1}{2}x=-\frac{3}{4}x+a$

$\frac{5}{4}x=a$

$x=\frac{4}{5}a$

A stąd

$y=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{5}a=\frac{2}{5}a$

Otrzymaliśmy

$Q=\left(\frac{4}{5}a,\frac{2}{5}a\right)$

---

Obliczamy długość $PQ$

 $\left|PQ\right|=\sqrt{{\left(\frac{4}{5}a-\frac{2}{5}a\right)}^2+{\left(\frac{2}{5}a-\frac{1}{5}a\right)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{2}{5}a\right)}^2+{\left(\frac{1}{5}a\right)}^2}=\sqrt{\frac{4}{25}{a}^2+\frac{1}{25}{a}^2}=\sqrt{\frac{5}{25}{a}^2}\underset{a>0}{=}\frac{\sqrt{5}}{5}a$

Co należało wykazać.