Treść:

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le \frac{x}{y^2}+\frac{y}{x^2}$

---

Wyjaśnienie:

Wiemy, że:

$x,y\in \mathbb{R}$ oraz $x>0,y>0$

Przekształćmy daną nierówność:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le \frac{x}{y^2}+\frac{y}{x^2}|\cdot x^2{y}^2$  (mnożymy przez liczby dodatnie - więc nie zmieniamy znaku nierówności)

$x{y}^2+x^{2}y\le x^3+y^3$

$0\le x^3+y^3-x^{2}y-x{y}^2$

$0\le x^3-x^{2}y+y^3-x{y}^2$

$0\le x^2\left(x-y\right)+y^2\left(y-x\right)$

$0\le x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)$

$0\le \left(x^2-y^2\right)\left(x-y\right)$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$

$0\le \left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x-y\right)$

A zatem:

$0\le {\left(x-y\right)}^2\left(x+y\right)$

Zauważmy, że:

${\left(x-y\right)}^2$ jest liczbą nieujemną.

$\left(x+y\right)$ jest liczbą dodatnią - ponieważ liczby $x$ oraz $y$ są dodatnie.

Oznacza to, że iloczyn po prawej jest nieujemny, co należało pokazać.