Treść:

Ze zbioru ośmiu liczb $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ losujemy bez zwracania osiem razy po jednej liczbie. Wykorzystane liczby ustawiamy w ciąg zgodnie z kolejnością losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $\mathbf{A}$ polegającego na tym, że wylosowane liczby utworzą ciąg, w którym iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów będzie liczbą podzielną przez $3$. Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

Zapisz obliczenia.

---

Odpowiedź:

$P\left(A\right)=\frac{1}{28}$

---

Wyjaśnienie:

Losujemy bez zwracania $8$ liczb ze zbioru $8$-elementowego, więc liczba wszystkich zdarzeń elementarnych to permutacja tego zbioru, czyli:

$\left|\Omega \right|=8!=40320$

Iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów ma być podzielny przez $3$. W zbiorze $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ liczby podzielne przez $3$ to $3$ oraz $6$, a więc są dwie takie liczby. Liczby niepodzielne przez $3$ to: $1,2,4,5,7,8$ - jest ich sześć.

Oznaczmy liczby podzielne przez $3$ jako $X$. Musimy rozmieścić dwa $X$ na ośmiu miejscach tak, aby luka pomiędzy nimi nie przekraczała dwóch miejsc. Jedyne ustawienie, w którym każda trójka zawiera przynajmniej jedną liczbę podzielną przez $3$ wygląda następująco:

$\underline{}\underline{}\underline{X}\underline{}\underline{}\underline{X}\underline{}\underline{}$

Liczby $X$ możemy ustawić na dwóch miejscach na $2!$ sposoby. Pozostałe sześć liczb ustawiamy na pozostałych sześciu miejscach na $6!$ sposobów. Zatem liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu $A$ wynosi:

$\left|A\right|=2!\cdot 6!=2\cdot 720=1440$

Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ wynosi:

$P\left(A\right)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{2!\cdot 6!}{8!}=\frac{2\cdot 6!}{8\cdot 7\cdot 6!}=\frac{2}{56}=\frac{1}{28}$