Treść:

Rozwiąż nierówność

$\left|2x-6\right|-\left|x^2-9\right|<0$

Zapisz obliczenia.

---

Odpowiedź:

$x\in (-\infty ,-5)\cup (1,3)\cup \left(3,\infty \right)$

---

Wyjaśnienie:

Zauważmy, że:

$\left|2x-6\right|=\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& 2x-6\text{dla}2x-6\ge 0\\ & -2x+6\text{dla}2x-6<0\end{array}\end{array}$

Zatem:

$\left|2x-6\right|=\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& 2x-6\text{dla}x\ge 3\\ & -2x+6\text{dla}x<3\end{array}\end{array}$

oraz

$\left|x^2-9\right|=\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& x^2-9\text{dla}{x}^2-9\ge 0\\ & -x^2+9\text{dla}{x}^2-9<0\end{array}\end{array}$

Zatem:

$\left|x^2-9\right|=\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& x^2-9\text{dla}x\in (-\infty ,-3]\cup [3,\infty )\\ & -x^2+9\text{dla}x\in (-3,3)\end{array}\end{array}$

Rozpatrzymy trzy przypadki:

1)

$x\in (-\infty ,-3]$

Wówczas otrzymujemy następującą nierówność:

$-2x+6-\left(x^2-9\right)<0$

Stąd:

$-2x+6-x^2+9<0$

$-x^2-2x+15<0$

Obliczmy wyróżnik trójmianu $-x^2-2x+15$:

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 15=4+60=64,\sqrt{\Delta }=8$

$x_1=\frac{2-8}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-6}{-2}=3$

$x_2=\frac{2+8}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{10}{-2}=-5$

Naszkicujmy wykres dla podanej nierówności:

Z rysunku możemy odczytać, że:

$x\in \left(-\infty ,-5\right)\cup \left(3,\infty \right)$

Zatem biorąc pod uwagę fakt, iż przypadek ten zakładał, że $x\in \left(-\infty ,-3\right]$ otrzymaliśmy, że:

$x\in (-\infty ,-5)$

2)

$x\in (-3,3)$

Wówczas otrzymujemy następującą nierówność:

$-2x+6-\left(-x^2+9\right)<0$

Stąd:

$-2x+6+x^2-9<0$

$x^2-2x-3<0$

Obliczmy wyróżnik trójmianu $x^2-2x-3$:

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-3\right)=4+12=16,\sqrt{\Delta }=4$

$x_1=\frac{2-4}{2\cdot 1}=\frac{-2}{2}=-1$

$x_2=\frac{2+4}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}=3$

Naszkicujmy wykres dla podanej nierówności:

Z rysunku możemy odczytać, że:

$x\in \left(-1,3\right)$

Zatem biorąc pod uwagę fakt, iż przypadek ten zakładał, że $x\in \left(-3,3\right)$ otrzymaliśmy, że:

$x\in (-1,3)$

3)

$x\in [3,\infty )$

Wówczas otrzymujemy następującą nierówność:

$2x-6-\left(x^2-9\right)<0$

Stąd:

$2x-6-x^2+9<0$

$-x^2+2x+3<0$

Obliczmy wyróżnik trójmianu $-x^2+2x+3$:

$\Delta =2^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 3=4+12=16,\sqrt{\Delta }=4$

$x_1=\frac{-2-4}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-6}{-2}=3$

$x_2=\frac{-2+4}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{2}{-2}=-1$

Naszkicujmy wykres dla podanej nierówności:

Z rysunku możemy odczytać, że:

$x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(3,\infty \right)$

Zatem biorąc pod uwagę fakt, iż przypadek ten zakładał, że $x\in \left[3,\infty \right)$ otrzymaliśmy, że:

$x\in (3,\infty )$

Podsumowując rozwiązania przypadków 1), 2) i 3) uzyskaliśmy, że podana nierówność jest spełniona dla:

$x\in (-\infty ,-5)\cup (1,3)\cup \left(3,\infty \right)$