Treść:

Dany jest ciąg arytmetyczny $\left(a_n\right)$ o skończonej liczbie wyrazów. Liczba wyrazów tego ciągu jest większa od $6$. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy $1$, a ostatni wyraz tego ciągu jest równy $\left(-2025\right)$. Drugi, trzeci i szósty wyraz tworzą - w podanej kolejności - ciąg geometryczny.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu $\left(a_n\right)$. Zapisz obliczenia.

---

Odpowiedź:

$-1026168$

---

Wyjaśnienie:

Mamy dane:

$a_1=1$

$a_n=-2025$

$\frac{a_3}{a_2}=\frac{a_6}{a_3}$ - wiemy, że wyrazy $a_2,a_3,a_6$ są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.

Wiemy, że ciąg $\left(a_n\right)$ jest arytmetyczny - a więc:

$a_2=a_1+r=1+r$

$a_3=a_1+2r=1+2r$

$a_6=a_1+5r=1+5r$

A zatem możemy zapisać, że

$\frac{1+2r}{1+r}=\frac{1+5r}{1+2r}$

${\left(1+2r\right)}^2=\left(1+r\right)\left(1+5r\right)$

$1+4r+4r^2=1+5r+r+5r^2$

$0=r^2+2r$

$0=r\left(r+2\right)$

$r_1=0$ - ten wynik odrzucamy (wiemy, że wyrazy $a_1$ i $a_n$ są różne - więc różnica nie może wynosić $0$).

$r_2=-2$

---

Znając $r$ możemy wyznaczyć liczbę wyrazów ciągu.

$a_n=a_1+\left(n-1\right)\cdot r$

$-2025=1+\left(n-1\right)\cdot \left(-2\right)$

$-2026=-2n+2$

$-2028=-2n|:\left(-2\right)$

$1014=n$

$\underline{n=1014}$

---

Obliczamy sumę wyrazów tego ciągu:

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$

$S_{1014}=\frac{1+\left(-2025\right)}{{\cancel{2}}_1}\cdot {\cancel{1014}}^{507}=-2024\cdot 507=\boxed{-1026168}$