Treść:

Rozwiąż równanie:

$\sin \left(6x\right)-2\sin \left(2x\right)=0$

Zapisz obliczenia.

---

Odpowiedź:

$x_{}=\frac{k\cdot \pi }{2},k\in \mathbb{Z}$, lub:

$x_{}=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$, lub:

$x=-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.

---

Wyjaśnienie:

Skorzystajmy ze wzoru na różnicę sinusów:

$\sin \alpha -\sin \beta =2\sin \frac{a-\beta }{2}\cdot \cos \frac{\alpha +\beta }{2}$

A zatem:

$\sin \left(6x\right)-2\sin \left(2x\right)=0$

$\underline{\sin \left(6x\right)-\sin \left(2x\right)}-\sin \left(2x\right)=0$

$2\sin \left(\frac{6x-2x}{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{6x+2x}{2}\right)-\sin \left(2x\right)=0$

$2\sin \left(2x\right)\cdot \cos \left(4x\right)-\sin \left(2x\right)=0$

$\sin \left(2x\right)\cdot \left(2\cos \left(4x\right)-1\right)=0$

Rozpatrujemy dwa przypadki:

$1.\sin \left(2x\right)=0\vee 2.2\cos \left(4x\right)-1=0$

Przypadek 1.

$\sin \left(2x\right)=0$

$2x=k\cdot \pi$

$x=\frac{k\cdot \pi }{2},k\in \mathbb{Z}$

Przypadek 2.

$2\cos \left(4x\right)-1=0$

$2\cos \left(4x\right)=1$

$\cos \left(4x\right)=\frac{1}{2}$

Wiemy, że:

$\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$ oraz $\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$

A więc:

$4x=\frac{\pi }{3}+2k\pi \vee 4x=-\frac{\pi }{3}+2k\pi$

$x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2}\vee x=-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$ 

A zatem rozwiązaniami są:

$x_{}=\frac{k\cdot \pi }{2},k\in \mathbb{Z}$, lub:

$x_{}=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$, lub:

$x=-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.