Informacja do zadania:

W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości $x$ metrów nieprzekraczającej $10$ metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy $4$ metrów, które ma być styczne do każdego z boków trójkątnego kwietnika (zobacz rysunek). Projektantowi zależy, aby przy tak ustalonej wielkości fontanny pole tego kwietnika było najmniejsze.

---

Treść:

Wykaż, że pole $\text{P}$ (wyrażone w metrach kwadratowych) trójkątnego kwietnika o podstawie długości $\text{x}$ metrów jest określone wzorem

$\text{P}\left(\text{x}\right)=\frac{2{\text{x}}^3}{{\text{x}}^2-16}$

---

Wyjaśnienie:

Wiemy, że $0<x\le 10$ oraz z treści zadania wynika, że promień okręgu będzie równy $r=2\text{m}$. Aby zadanie miało sens $x>4$, to znaczy podstawa musi być dłuższa niż średnica okręgu. Oznaczmy wysokość trójkąta jako $h$. Pole trójkąta możemy obliczyć za pomocą wzoru

$P=\frac{1}{2}x\cdot h$

Oznaczmy bok trójkąta równoramiennego jako $y$. Możemy obliczyć pole również za pomocą wzoru

$P=p\cdot r$

gdzie $p$ to połowa obwodu trójkąta a $r$ to promień okręgu wpisanego w trójkąt. Zatem

$P=\frac{1}{2}\left(x+2y\right)\cdot 2$

Otrzymujemy równanie

$\frac{1}{2}xh=x+2y\left(\ast \right)$

Rozważamy trójkąt prostokątny będący połową omawianego trójkąta, zaznaczony na rysunku poniżej.

Z twierdzenia Pitagorasa mamy

$y^2={\left(\frac{x}{2}\right)}^2+h^2$

$y=\sqrt{\frac{x^2}{4}+h^2}$

Wstawiamy obliczoną wielkość do równania $\left(\ast \right)$. Mamy

$\frac{1}{2}xh=x+2\sqrt{\frac{x^2}{4}+h^2}|-x$

$\frac{1}{2}xh-x=2\sqrt{\frac{x^2}{4}+h^2}|\cdot 2$

$xh-2x=4\sqrt{\frac{x^2}{4}+h^2}{|}^{(2)}$

$x^2{h}^2-4x^{2}h+4x^2=16\left(\frac{x^2}{4}+h^2\right)$

$x^2{h}^2-4x^{2}h+\cancel{4x^2}=\cancel{4x^2}+16h^2$

$x^2{h}^2-4x^{2}h=16h^2|:h,h\ne 0,h>0$

$x^{2}h-4x^2=16h|-16h+4x^2$

$x^{2}h-16h=4x^2$

$h\left(x^2-16\right)=4x^2|:(x^2-16),x>4$

$h=\frac{4x^2}{x^2-16}$

Zapiszmy wzór na pole trójkąta w zależności od długości podstawy $x$.

$P\left(x\right)=\frac{1}{2}xh=\frac{1}{2}\cdot x\cdot \frac{4x^2}{x^2-16}=\frac{2x^3}{x^2-16}$

Co należało wykazać.