Pole P trójkątnego kwietnika...- Zadanie 12.2: Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2026

Rozwiązanie

Informacja do zadania:

W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości $x$ metrów nieprzekraczającej $10$ metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy $4$ metrów, które ma być styczne do każdego z boków trójkątnego kwietnika (zobacz rysunek). Projektantowi zależy, aby przy tak ustalonej wielkości fontanny pole tego kwietnika było najmniejsze.

Treść:

Pole $P$ trójkątnego kwietnika o podstawie długości $x$ metrów jest określone wzorem

$P (x) = \frac{2 x ^{3}}{x ^{2} - 16}$

dla każdego $x \in (4, 10]$ .

Wyznacz długość $x$ podstawy trójkątnego kwietnika, dla której pole tego kwietnika jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.

Odpowiedź:

$x = 43 m$

$P_{m i n} = 123 m^{2}$

Wyjaśnienie:

Rozważamy funkcję opisującą pole

$P (x) = \frac{2 x ^{3}}{x ^{2} - 16}$

Obliczamy jej pochodną

$P^{'} (x) = (\frac{2 x ^{3}}{x ^{2} - 16})^{'} = \frac{( 2 x ^{3} ) ^{'} \cdot ( x ^{2} - 16 ) - 2 x ^{3} \cdot ( x ^{2} - 16 ) ^{'}}{( x ^{2} - 16 ) ^{2}} = \frac{6 x ^{2} ( x ^{2} - 16 ) - 2 x ^{3} \cdot 2 x}{( x ^{2} - 16 ) ^{2}} = \frac{6 x ^{4} - 96 x ^{2} - 4 x ^{3}}{( x ^{2} - 16 ) ^{2}} = \frac{2 x ^{4} - 96 x ^{2}}{( x ^{2} - 16 ) ^{2}}$

Zauważmy, że $(x^{2} - 16)^{2} > 0$ zawsze dla $x \in (4, 10]$ ponieważ jest to kwadrat liczby rzeczywistej różnej od zera. Zatem o znaku pochodnej decyduje jej licznik. Rozważamy zatem wyrażenie

$w (x) = 2 x^{4} - 96 x^{2} = 2 x^{2} (x^{2} - 48) = 2 x^{2} (x - 43) (x + 43)$

Naszkicujmy wykres tego wielomianu, aby sprawdzić jak zmienia się znak.

Rozważamy $x \in (4, 10]$ . Zauważmy, że

$w (x) > 0$ dla $x \in (43, 10)$
$w (x) < 0$ dla $x \in (4, 43)$

Zatem $P^{'} (x) < 0$ w przedziale $(4, 43)$ oraz $P^{'} (x) > 0$ w przedziale $(43, 10)$ . Wnioskujemy stąd, że funkcja $P$ maleje a później rośnie, czyli w punkcie $x = 43$ ma minimum. Nie ma więcej ekstremów.

Minimalne pole trójkąta będzie osiągane dla $x = 43 m$ . Obliczmy to pole

$P (43) = \frac{2 \cdot ( 4 3 ) ^{3}}{( 4 3 ) ^{2} - 16} = \frac{2 \cdot 48 \cdot 4 3}{48 - 16} = \frac{8 \cdot 48 3}{32} = \frac{48 3}{4} = 123 m^{2}$