Treść:

W czworokącie $ABCD$ są dane: $\left|AB\right|=9$, $\left|AD\right|=10$ oraz $\left|\sphericalangle BAD\right|=60^{\circ }$.

W ten czworokąt wpisano okrąg oraz na tym czworokącie opisano okrąg (zobacz rysunek).

Oblicz długość boków $BC$ i $CD$ oraz pole czworokąta $ABCD$. Zapisz obliczenia.

---

Odpowiedź:

$\left|BC\right|=5,\left|CD\right|=6,P_{ABCD}=30\sqrt{3}$

---

Rozwiązanie:

Wprowadźmy oznaczenia:

$\left|BC\right|=x,\left|CD\right|=y$

Korzystamy z tego, że czworokąt można opisać na okręgu - a wiec sumy długości naprzeciwległych boków są sobie równe.

$\left|AB\right|+\left|CD\right|=\left|AD\right|+\left|BC\right|$

$9+y=10+x$

$y=x+1$

---

Rysujemy przekątną $BD$.

 Korzystamy z twierdzenia cosinusów w trójkącie $ABD$:

${\left|BD\right|}^2=9^2+10^2-2\cdot 9\cdot 10\cdot \cos 60^{\circ }$

${\left|BD\right|}^2=81+100-180\cdot \frac{1}{2}$

${\left|BD\right|}^2=181-90$ 

$\left|BD\right|=\sqrt{91}$

---

Czworokąt można opisać na okręgu - czyli suma miar naprzeciwległych kątów wynosi $180^{\circ }$, a więc:

$\sphericalangle BCD=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$

---

Korzystamy z twierdzenia cosinusów w trójkącie $BCD$:

${\left|BD\right|}^2={\left|CD\right|}^2+{\left|BC\right|}^2-2\cdot |CD|\cdot \left|BC\right|\cdot \cos \left(\sphericalangle BCD\right)$

$91=y^2+x^2-2\cdot y\cdot x\cdot \cos 120^{\circ }$

$91=y^2+x^2-2\cdot y\cdot x\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$91=y^2+x^2+xy$

Korzystamy z wcześniej wyznaczonego faktu, że: $y=x+1$, a zatem:

$91={\left(x+1\right)}^2+x^2+x\cdot \left(x+1\right)$

$91=x^2+2x+1+x^2+x^2+x$

$0=3x^2+3x-90|:3$

$0=x^2+x-30$ 

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-30\right)=1+120=121$

$\sqrt{\Delta }=11$

A więc:

$x_1=\frac{-1-11}{2\cdot 1}=\frac{-12}{2}=-6$ - długość boku nie może być liczbą ujemną.

$x_2=\frac{-1+11}{2\cdot 1}=\frac{10}{2}=5$

Czyli:

$x=\boxed{5}$

$y=x+1=5+1=\boxed{6}$

---

Obliczamy pole czworokąta. Zauważmy, że możemy obliczyć pola trójkątów $ABD$ oraz $BCD$:

$P_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 10\cdot \sin 60^{\circ }=45\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{45\sqrt{3}}{2}$

$P_{BCD}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 6\cdot \underset{=\sin (180^{\circ }-120^{\circ })}{\underbrace{\sin 120^{\circ }}}=15\cdot \sin 60^{\circ }=15\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{15\sqrt{3}}{2}$

A więc pole powierzchni czworokąta jest równe:

$P_{ABCD}=\frac{45\sqrt{3}}{2}+\frac{15\sqrt{3}}{2}=\frac{60\sqrt{3}}{2}=\boxed{30\sqrt{3}}$