Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości...- Zadanie 10: Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2026

Rozwiązanie

Treść:

Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru $m$ , gdzie $m \neq = 0$ , dla których funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem

$f (x) = m^{2} x^{2} - 2 m x - m + 1$

ma dwa różne miejsca zerowe $x_{1}$ oraz $x_{2}$ należące do przedziału $(- 2, 2)$ .

Zapisz obliczenia.

Odpowiedź:

$m \in (1, + \infty)$

Wyjaśnienie:

Wiemy, że $m \neq = 0$ - a więc możemy zauważyć, że dana funkcja będzie funkcją kwadratową niezależnie od wyboru $m$ , oraz parabola będąca wykresem tej funkcji ma ramiona skierowane w górę.

Chcemy, aby funkcja miała dwa miejsca zerowe - czyli $Δ$ musi być dodatnia.

$Δ = (- 2 m)^{2} - 4 \cdot m^{2} \cdot (- m + 1) = 4 m^{2} + 4 m^{3} - 4 m^{2} = 4 m^{3}$

$4 m^{3} > 0$

$m > 0$

$m \in (0, + \infty)$ - dla takich $m$ funkcja ma miejsca zerowe.

Pierwiastki mają być mniejsze niż $2$ - a więc możemy zapisać:

$x_{1} < 2 \Rightarrow x_{1} - 2 < 0$

$x_{2} < 2 \Rightarrow x_{2} - 2 < 0$

Powyższe liczby są ujemne - a więc ich suma jest ujemna, a iloczyn - dodatni.

${(x_{1} - 2) + (x_{2} - 2) < 0 (x_{1} - 2) \cdot (x_{2} - 2) > 0$

${x_{1} - 2 + x_{2} - 2 < 0 x_{1} x_{2} - 2 x_{2} - 2 x_{1} + 4 > 0$

${x_{1} + x_{2} - 4 < 0 x_{1} x_{2} - 2 \cdot (x_{2} + x_{1}) + 4 > 0$

Korzystamy z wzorów Viete'a na sumę i iloczyn pierwiastków:

${- \frac{- 2 m}{m ^{2}} - 4 < 0 \frac{- m + 1}{m ^{2}} - 2 \cdot \frac{- 2 m}{m ^{2}} + 4 > 0$

Wiemy, że $m \neq = 0$ , a więc obie strony nierówności możemy mnożyć przez $m^{2}$ :

${2 m - 4 m^{2} < 0 - m + 1 + 2 \cdot 2 m + 4 m^{2} > 0$

${2 m (1 - 2 m) < 0 ∣ : (- 4) ∣ - m + 1 + 4 m + 4 m^{2} > 0$

${m (m - \frac{1}{2}) > 0 4 m^{2} + 3 m + 1 > 0$

Pierwsza nierówność:

$m \cdot (m - \frac{1}{2}) > 0$

Rozwiązaniem jest: $m \in (- \infty, 0) \cup (\frac{1}{2}, + \infty)$

Druga nierówność:

$4 m^{2} + 3 m + 1 > 0$

$Δ_{2} = 3^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 9 - 16 = - 7 < 0$

Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni - a więc warunek jest spełniony przez $m \in R$ .

Pierwiastki muszą być większe niż $- 2$ , a więc:

$x_{1} > - 2 \Rightarrow x_{1} + 2 > 0$

$x_{2} > - 2 \Rightarrow x_{2} + 2 > 0$

Skoro powyższe liczby są dodatnie - to ich suma i iloczyn również są dodatnie.

${(x_{1} + 2) + (x_{2} + 2) > 0 (x_{1} + 2) \cdot (x_{2} + 2) > 0$

${x_{1} + 2 + x_{2} + 2 > 0 x_{1} x_{2} + 2 x_{1} + 2 x_{2} + 4 > 0$

${x_{1} + x_{2} + 4 > 0 x_{1} x_{2} + 2 \cdot (x_{1} + x_{2}) + 4 > 0$

Korzystamy ze wzorów Viete'a:

${- \frac{- 2 m}{m ^{2}} + 4 > 0 \frac{- m + 1}{m ^{2}} + 2 \cdot (\frac{- 2 m}{m ^{2}}) + 4 > 0$

Mnożymy obie strony obu nierówności przez $m^{2}$ :

${2 m + 4 m^{2} > 0 - m + 1 - 4 m + 4 m^{2} > 0$

${4 m (\frac{1}{2} + m) > 0 4 m^{2} - 5 m + 1 > 0$

Pierwsza nieróność:

$m (m + \frac{1}{2}) > 0$

$m \in (- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (0, + \infty)$

Druga nierówność:

$4 m^{2} - 5 m + 1 > 0$

$Δ = (- 5)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$

$9 = 3$

A więc:

$m_{1} = \frac{5 + 3}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$

$m_{2} = \frac{5 - 3}{2 \cdot 4} = \frac{1}{4}$

A więc:

$m \in (- \infty, \frac{1}{4}) \cup (1, + \infty)$

Wyznaczamy część wspólną wszystkich wyznaczonych przedziałów:

$m \in (0, + \infty) \cap ((- \infty, 0) \cup (\frac{1}{2}, + \infty)) \cap ((- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (0, + \infty)) \cap ((- \infty, \frac{1}{4}) \cup (1, + \infty)) =$