Treść:

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym $ABCS$ podstawa $ABC$ jest trójkątem równobocznym. Długość okręgu opisanego na podstawie $ABC$ jest równa $6\sqrt{2}\pi$, a cosinus kąt między krawędziami bocznymi $SB$ i $SC$ jest równy $\frac{5}{9}$.

Oblicz długość krawędzi podstawy $\mathbf{ABC}$ oraz cosinus kąta między ścianami bocznymi $\mathbf{SAC}$ i $\mathbf{SBC}$ tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

---

Odpowiedź:

$a=3\sqrt{6}$

$\cos \alpha =\frac{5}{14}$

---

---

Wyjaśnienie:

Skoro długość okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa to $6\sqrt{2}\pi$. Możemy obliczyć długość krawędzi podstawy, czyli długość boku trójkąta $ABC$. Obliczmy promień okręgu

$2\pi R=6\sqrt{2}\pi$

$R=3\sqrt{2}$

Wiemy, że zależność między promieniem okręgu opisanego na trójkącie równobocznym a wysokością tego trójkąta jest następująca

$R=\frac{2}{3}h$

Stąd otrzymujemy

$\frac{2}{3}h=3\sqrt{2}$

$h=\frac{9\sqrt{2}}{2}$

Korzystając ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym o boku długości $a$ obliczamy

$\frac{a\sqrt{3}}{2}=h$

$\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{2}}{2}$

$a=\frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

$a=\frac{9\sqrt{6}}{3}$

$\boxed{a=3\sqrt{6}}$

---

Wykonajmy rysunek pomocniczy w którym jako $\alpha$ oznaczymy kąt między ścianami ostrosłupa.

Rozważmy, trójkąt $SBC$, który jest równoramienny.

Znamy $\cos \beta$ oraz $a$ zatem z twierdzenia cosinusów obliczamy długość krawędzi bocznej.

$a^2=b^2+b^2-2b^2\cos \beta$

${\left(3\sqrt{6}\right)}^2=2b^2-2b^2\cdot \frac{5}{9}$

$54=2b^2\left(1-\frac{5}{9}\right)$

$54=2b^2\cdot \frac{4}{9}$

$\frac{8}{9}{b}^2=54$

$8b^2=486$

$4b^2=243$

$b^2=\frac{243}{4},b>0$

$b=\frac{9\sqrt{3}}{2}$

Obliczmy sinus kąta $\beta$ wiedząc, że $\sin \beta >0$. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej.

${\sin }^2\beta +{\cos }^2\beta =1$

${\sin }^2\beta +{\left(\frac{5}{9}\right)}^2=1$

${\sin }^2\beta +\frac{25}{81}=1$

${\sin }^2\beta =\frac{56}{81},\sin \beta >0$

$\sin \beta =\frac{2\sqrt{14}}{9}$

Obliczmy pole trójkąta $SCB$. Mamy

$P_{SCB}=\frac{1}{2}{b}^2\sin \beta =\frac{1}{2}\cdot \frac{243}{4}\cdot \frac{2\sqrt{14}}{9}=\frac{243\sqrt{14}}{36}=\frac{27\sqrt{14}}{4}$

Rozważając trójkąt $ABP$ zauważmy, że jest równoramienny oraz że $BP$ i $AP$ to wysokości w trójkątach będących ścianami bocznymi tego ostrosłupa (które są równe, bo wszystkie ściany ostrosłupa są takie same). Znając pole jednej ściany i długości boków obliczymy długość tych wysokości. Wybieramy trójkąt $SBC$.

$\frac{1}{2}\left|PB\right|\cdot \left|CS\right|=P_{SCB}$

$\frac{1}{2}\cdot h\cdot b=\frac{27\sqrt{14}}{4}$

$\frac{1}{2}\cdot h\cdot \frac{9\sqrt{3}}{2}=\frac{27\sqrt{14}}{4}|\cdot 4$

$h\cdot 9\sqrt{3}=27\sqrt{14}|:9$

$h\sqrt{3}=3\sqrt{14}$

$h=\frac{3\sqrt{14}}{\sqrt{3}}$

$h=\frac{3\sqrt{42}}{3}$

$h=\sqrt{42}$

Stąd wnioskujemy

$\left|CS\right|=\left|BS\right|=\sqrt{42}$

Zatem korzystając z twierdzenia cosinusów w trójkącie $ABP$ otrzymujemy

$\cos \alpha =\frac{h^2+h^2-a^2}{2\cdot h\cdot h}=\frac{{\left(\sqrt{42}\right)}^2+{\left(\sqrt{42}\right)}^2-{\left(3\sqrt{6}\right)}^2}{2\cdot {\left(\sqrt{42}\right)}^2}=\frac{42+42-54}{2\cdot 42}=\frac{84-54}{84}=\frac{30}{84}=\boxed{\frac{5}{14}}$