Treść:

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $7n^2+21n$ jest podzielna przez $14$.

---

Wyjaśnienie:

Zapiszmy podane wyrażenie w postaci iloczynu:

$7n^2+21n=7n\left(n+3\right)$

Zauważmy, że jeśli liczba $n$ jest parzysta (czyli dzieli się przez $2$) to liczba $n+3$ jest nieparzysta (ponieważ suma liczby parzystej i nieparzystej jest nieparzysta). Natomiast jeśli liczba $n$ jest nieparzysta to liczba $n+3$ jest parzysta (ponieważ suma dwóch liczb nieparzystych jest liczbą parzystą). Stąd liczba $n\left(n+3\right)$ na pewno jest liczbą parzystą niezależnie od tego czy $n$ jest liczbą parzystą czy nieparzystą (iloczyn liczby parzystej i nieparzystej jest liczbą parzystą), czyli jest podzielna przez $2$. Wobec tego liczba $7n\left(n+3\right)$ jest podzielna przez $7$ i przez $2$, zatem jest również podzielna przez $14$. 

Co należało wykazać.