Treść:

Dane są dwa zbiory cyfr: $X=\left\{1,3,5,7,9\right\}$ oraz $Y=\left\{0,2,4,6,8\right\}$. Losujemy jedną cyfrę ze zbioru $X$, a następnie losujemy jedną cyfrę ze zbioru $Y$. Następnie zapisujemy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że cyfra wylosowana ze zbioru $X$ jest cyfrą dziesiątek a cyfra wylosowana ze zbioru $Y$ jest cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $\mathbf{A}$ polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie podzielna przez $6$. Zapisz obliczenia.

---

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo wynosi $\frac{9}{25}$.

---

Wyjaśnienie:

Obliczmy najpierw ile będzie takich liczb dwucyfrowych. Losujemy jedną liczbę ze zbioru $X$, który ma $5$ elementów i jedną ze zbioru $Y$, który ma też $5$ elementów. Stąd

$\left|\Omega \right|=5\cdot 5=25$

Przypomnijmy, że liczba jest podzielna przez $6$ jeśli dzieli się przez $2$ i przez $3$. 

Aby liczba dwucyfrowa była podzielna przez $2$ jej cyfrą dziesiątek powinna być liczba parzysta. Zauważmy, że w zbiorze $Y$ mamy tylko liczby parzyste. Zatem, każda liczba dwucyfrowa tworzona w opisany sposób będzie podzielna przez $2$.

Aby liczba dwucyfrowa była podzielna przez $3$ suma jej cyfr musi być podzielna przez $3$. Wypiszmy wszystkie pary, które to spełniają:

$\left(1,2\right),\left(1,8\right),\left(3,0\right),\left(3,6\right),\left(5,4\right),\left(7,2\right),\left(7,8\right),\left(9,0\right),\left(9,6\right)$

Jest ich $9$, stąd $\left|A\right|=9$. Obliczmy prawdopodobieństwo zdarzenia $A$

$P\left(A\right)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{9}{25}$