Treść:

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość $8\sqrt{3}$. Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30^{\circ }.$

Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

---

Odpowiedź:

Objętość tego ostrosłupa wynosi $128$.

---

Wyjaśnienie:

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat o przekątnej - $d$ długości $8\sqrt{3}$. Obliczmy pole powierzchni tego kwadratu korzystając z faktu, że przekątne kwadratu mają taką samą długość:

$P_p=\frac{d^2}{2}=\frac{{\left(8\sqrt{3}\right)}^2}{2}=\frac{{\cancel{64}}^{32}\cdot 3}{{\cancel{2}}_1}=32\cdot 3=96$

Wykonajmy rysunek pomocniczy tego ostrosłupa:

Pamiętajmy, że przekątne podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego przecinają się w połowie i punkt przecięcia tych przekątnych jest spodkiem wysokości tego ostrosłupa.

 

Zauważmy, że trójkąt $FCE$ jest prostokątny o kątach ostrych $30^{\circ }$ i $60^{\circ }$, zatem korzystając z faktu, że znamy zależności między długościami boków tego trójkąta otrzymujemy, że:

$H=4$

Obliczmy objętość tego ostrosłupa:

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{{\cancel{3}}_1}\cdot {\cancel{96}}^{32}\cdot 4=32\cdot 4=128$