Treść:

Dany jest trójkąt $KLM$, w którym $\left|KM\right|=a$ oraz $\left|LM\right|=b$.

Dwusieczna kąta $LMK$ przecina bok $KL$ w punkcie $N$ (zobacz rysunek).

Wykaż, że stosunek pola trójkąta $\mathbf{KNM}$ do pola trójkąta $\mathbf{NLM}$ jest równy $\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}$.

---

Wyjaśnienie:

Wysokość trójkąta $KLM$, oznaczmy ją jako $h$, jest również wspólną wysokością trójkątów $KNM$ oraz $NLM$. 

Z twierdzenia o dwusiecznej kąta mamy:

$\frac{\left|KN\right|}{\left|NL\right|}=\frac{\left|KM\right|}{\left|LM\right|}$

Wobec tego:

$\frac{\left|KN\right|}{\left|NL\right|}=\frac{a}{b}$

Wyznaczmy stosunek pola trójkąta $KNM$ do pola trójkąta $NLM$.

$\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot \left|KN\right|\cdot h}{\frac{1}{2}\cdot \left|NL\right|\cdot h}=\frac{\left|KN\right|}{\left|NL\right|}=\frac{a}{b}$

Co należało wykazać.