Środek okręgu wpisanego w trójkąt to punkt przecięcia dwusiecznych. 

Środki okręgów w każdym przykładzie oznaczmy jako O. 

$a)$  

Skorzystamy z tego, że suma miar kątów w trójkącie wynosi 180° (trójkąt AOB)

${\alpha }_1={180}^o-{20}^o-{30}^o={130}^o$  

Tak jak zauważyliśmy na początku, środek okręgu wpisanego w trójkąt to punkt przecięcia dwusiecznych trójkąta. Dwusieczna dzieli kąt na dwa kąty o jednakowych miarach, więc:

$\left|\angle CAO\right|=\left|\angle BAO\right|={20}^o,\text{czyli}\left|\angle CAB\right|=2\cdot {20}^o={40}^o$  

$\left|\angle CBO\right|=\left|\angle ABO\right|={30}^o,\text{czyli}\left|\angle CBA\right|=2\cdot {30}^o={60}^o$  

Teraz możemy obliczyć miare kąta ACB w trójkącie ABC:

$\left|\angle ACB\right|={180}^o-{40}^o-{60}^o={80}^o$