Środek okręgu wpisanego w trójkąt to punkt przecięcia dwusiecznych. 

Środki okręgów w każdym przykładzie oznaczmy jako O. 

 

$a)$  

Skorzystamy z tego, że suma miar kątów w trójkącie wynosi 180° (trójkąt AOB)

${\alpha }_1={180}^o-{20}^o-{30}^o={130}^o$  

 

Tak jak zauważyliśmy na początku, środek okręgu wpisanego w trójkąt to punkt przecięcia dwusiecznych trójkąta. Dwusieczna dzieli kąt na dwa kąty o jednakowych miarach, więc:

$\left|\angle CAO\right|=\left|\angle BAO\right|={20}^o,\text{czyli}\left|\angle CAB\right|=2\cdot {20}^o={40}^o$  

$\left|\angle CBO\right|=\left|\angle ABO\right|={30}^o,\text{czyli}\left|\angle CBA\right|=2\cdot {30}^o={60}^o$  

 

Teraz możemy obliczyć miare kąta ACB w trójkącie ABC:

$\left|\angle ACB\right|={180}^o-{40}^o-{60}^o={80}^o$  

 

$\left|\angle ACO\right|=\left|\angle BOC\right|={80}^o:2={40}^o$  

 

Teraz możemy obliczyć miarę drugiego szukanego kąta (w trójkącie BOC):

${\alpha }_2={180}^o-{30}^o-{40}^o={110}^o$  

 

 

Teraz możemy obliczyć miarę trzeciego szukanego kąta (w trójkącie AOC):

${\alpha }_3={180}^o-{20}^o-{40}^o={120}^o$  

 

 

$\underline{\underline{}}$  

 

 

$b)$  

$\left|\angle OFD\right|=\left|\angle OFE\right|={20}^o,\text{czyli}\left|\angle DFE\right|=2\cdot {20}^o={40}^o$  

 

Kąty przy podstawie w trójkącie równoramiennym mają jednakowe miary:

$\left|\angle FDE\right|=\left|\angle FED\right|=\left({180}^o-{40}^o\right):2={140}^o:2={70}^o$  

 

$\left|\angle FDO\right|=\left|\angle ODE\right|=\left|\angle OED\right|=\left|\angle OEF\right|={70}^o:2={35}^o$  

 

 

${\beta }_1={180}^o-{35}^o-{35}^o={110}^o$  

${\beta }_2={\beta }_3={180}^o-{20}^o-{35}^o={125}^o$  

 

 

$\underline{\underline{}}$  

 

 

$c)$  

$\left|\angle OIG\right|=\left|\angle OIH\right|={25}^o,\text{czyli}\left|\angle GIH\right|=2\cdot {25}^o={50}^o$  

$\left|\angle IGH\right|={90}^o,\text{czyli}\left|\angle OGI\right|=\left|\angle OGH\right|={90}^o:2={45}^o$  

$\left|\angle GHI\right|={180}^o-{90}^o-{50}^o={40}^o,\text{czyli}\left|\angle OHG\right|=\left|\angle OHI\right|={40}^o:2={20}^o$  

 

${\gamma }_1={180}^o-{45}^o-{20}^o={115}^o$  

${\gamma }_2={180}^o-{20}^o-{25}^o={135}^o$  

${\gamma }_3={180}^o-{45}^o-{25}^o={110}^o$