Rozwiąż równanie...- Zadanie 1: Nowa Teraz matura. Zbiór zadań. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Rozwiązujemy równanie:

$x^{3} + x^{2} - 2 = 0$

Niech:

$w (x) = x^{3} + x^{2} - 2$

Korzystamy z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych i zauważamy, że:

$w (1) = 1^{3} + 1^{2} - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$

Liczba $1$ jest pierwiastkiem wielomianu $w$ .

Zatem zgodnie z twierdzeniem Bézouta wielomian $w$ jest podzielny przez dwumian $x - 1$ .

Wykonujemy dzielenie stosując schemat Hornera:

	$1$	$1$	$0$	$- 2$
$1$		$1$	$2$	$2$
	$1$	$2$	$2$	$0$

Otrzymujemy:

$(x^{3} + x^{2} - 2) : (x - 1) = x^{2} + 2 x + 2$

Możemy więc zapisać, że:

$x^{3} + x^{2} - 2 = (x - 1) (x^{2} + 2 x + 2)$

Czyli równanie sprowadza się do postaci:

$(x - 1) (x^{2} + 2 x + 2) = 0$

$x - 1 = 0 x = 1 lub x^{2} + 2 x + 2 = 0 Δ = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = - 4 < 0 brak rozwi ą za \overset{n}{ˊ}$

Równanie ma jedno rozwiązanie:

$x = 1$

Rozwiązujemy równanie:

$x^{3} - 7 x - 6 = 0$

Niech:

$w (x) = x^{3} - 7 x - 6$

Korzystamy z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych i zauważamy, że:

$w (- 1) = (- 1)^{3} - 7 \cdot (- 1) - 6 = - 1 + 7 - 6 = 0$

Liczba $- 1$ jest pierwiastkiem wielomianu $w$ .

Zatem zgodnie z twierdzeniem Bézouta wielomian $w$ jest podzielny przez dwumian $x - (- 1)$ , czyli $x + 1$ .

Wykonujemy dzielenie stosując schemat Hornera:

	$1$	$0$	$- 7$	$- 6$
$- 1$		$- 1$	$1$	$6$
	$1$	$- 1$	$- 6$	$0$

Otrzymujemy:

$(x^{3} - 7 x - 6) : (x + 1) = x^{2} - x - 6$

Możemy więc zapisać, że:

$x^{3} - 7 x - 6 = (x + 1) (x^{2} - x - 6)$

Czyli równanie sprowadza się do postaci:

$(x + 1) (x^{2} - x - 6) = 0$

$x + 1 = 0 x = - 1 lub x^{2} - x - 6 = 0 Δ = (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6) = 1 + 24 = 25 Δ = 25 = 5 x_{1} = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2 x_{2} = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Równanie ma trzy rozwiązania:

$x \in {- 2, - 1, 3}$

Rozwiązujemy równanie:

$3 x^{3} - 8 x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Niech:

$w (x) = 3 x^{3} - 8 x^{2} - 5 x + 6$

Korzystamy z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych i zauważamy, że:

$w (- 1) = 3 \cdot (- 1)^{3} - 8 \cdot (- 1)^{2} - 5 \cdot (- 1) + 6 = 3 \cdot (- 1) - 8 \cdot 1 + 5 + 6 = - 3 - 8 + 11 = 0$

Liczba $- 1$ jest pierwiastkiem wielomianu $w$ .

Zatem zgodnie z twierdzeniem Bézouta wielomian $w$ jest podzielny przez dwumian $x - (- 1)$ , czyli $x + 1$ .

Wykonujemy dzielenie stosując schemat Hornera:

	$3$	$- 8$	$- 5$	$6$
$- 1$		$- 3$	$11$	$- 6$
	$3$	$- 11$	$6$	$0$

Otrzymujemy:

$(3 x^{3} - 8 x^{2} - 5 x + 6) : (x + 1) = 3 x^{2} - 11 x + 6$

Możemy więc zapisać, że:

$3 x^{3} - 8 x^{2} - 5 x + 6 = (x + 1) (3 x^{2} - 11 x + 6)$

Czyli równanie sprowadza się do postaci:

$(x + 1) (3 x^{2} - 11 x + 6) = 0$

$x + 1 = 0 x = - 1 lub 3 x^{2} - 11 x + 6 = 0 Δ = (- 11)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 121 - 72 = 49 Δ = 49 = 7 x_{1} = \frac{- ( - 11 ) - 7}{2 \cdot 3} = \frac{11 - 7}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} x_{2} = \frac{- ( - 11 ) + 7}{2 \cdot 3} = \frac{11 + 7}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Równanie ma trzy rozwiązania:

$x \in {- 1, \frac{2}{3}, 3}$

Rozwiązujemy równanie:

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 3 = 0$

Niech:

$w (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 3$

Korzystamy z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych i zauważamy, że:

$w (- 1) = 2 \cdot (- 1)^{3} - 5 \cdot (- 1)^{2} - 4 \cdot (- 1) + 3 = 2 \cdot (- 1) - 5 \cdot 1 + 4 + 3 = - 2 - 5 + 7 = 0$

Liczba $- 1$ jest pierwiastkiem wielomianu $w$ .

Zatem zgodnie z twierdzeniem Bézouta wielomian $w$ jest podzielny przez dwumian $x - (- 1)$ , czyli $x + 1$ .

Wykonujemy dzielenie stosując schemat Hornera:

	$2$	$- 5$	$- 4$	$3$
$- 1$		$- 2$	$7$	$- 3$
	$2$	$- 7$	$3$	$0$

Otrzymujemy:

$(2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 3) : (x + 1) = 2 x^{2} - 7 x + 3$

Możemy więc zapisać, że:

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 3 = (x + 1) (2 x^{2} - 7 x + 3)$

Czyli równanie sprowadza się do postaci:

$(x + 1) (2 x^{2} - 7 x + 3) = 0$

$x + 1 = 0 x = - 1 lub 2 x^{2} - 7 x + 3 = 0 Δ = (- 7)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 Δ = 25 = 5 x_{1} = \frac{- ( - 7 ) - 5}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} x_{2} = \frac{- ( - 7 ) + 5}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Równanie ma trzy rozwiązania:

$x \in {- 1, \frac{1}{2}, 3}$

Rozwiązujemy równanie:

$3 x^{3} + x^{2} + x = 2$

$3 x^{3} + x^{2} + x - 2 = 0$

Niech:

$w (x) = 3 x^{3} + x^{2} + x - 2$

Korzystamy z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych i zauważamy, że:

$w (\frac{2}{3}) = 3 \cdot (\frac{2}{3})^{3} + (\frac{2}{3})^{2} + \frac{2}{3} - 2 = 3^{1} \cdot \frac{8}{27 _{9}} + \frac{4}{9} + \frac{2}{3} - 2 = \frac{12}{9} + \frac{6}{9} - 2 = \frac{18}{9} - 2 = 0$

Liczba $\frac{2}{3}$ jest pierwiastkiem wielomianu.

Zatem zgodnie z twierdzeniem Bézouta wielomian $w$ jest podzielny przez dwumian $x - \frac{2}{3}$ .

Wykonujemy dzielenie stosując schemat Hornera:

	$3$	$1$	$1$	$- 2$
$\frac{2}{3}$		$2$	$2$	$2$
	$3$	$3$	$3$	$0$

Otrzymujemy:

$(3 x^{3} + x^{2} + x - 2) : (x - \frac{2}{3}) = 3 x^{2} + 3 x + 3$

Możemy więc zapisać, że:

$3 x^{3} + x^{2} + x - 2 = (x - \frac{2}{3}) (3 x^{2} + 3 x + 3)$

Czyli równanie sprowadza się do postaci:

$(x - \frac{2}{3}) (3 x^{2} + 3 x + 3) = 0$

$x - \frac{2}{3} = 0 x = \frac{2}{3} lub 3 x^{2} + 3 x + 3 = 0 Δ = 3^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 9 - 36 = - 25 < 0 brak rozwi ą za \overset{n}{ˊ}$

Równanie ma jedno rozwiązanie:

$x = \frac{2}{3}$

Rozwiązujemy równanie:

$4 x^{3} - x^{2} - 8 x + 2 = 0$

$x^{2} (4 x - 1) - 2 (4 x - 1) = 0$

$(4 x - 1) (x^{2} - 2) = 0$

$4 x - 1 = 0 4 x = 1 x = \frac{1}{4} lub x^{2} - 2 = 0 x^{2} = 2 x = 2 lub x = - 2$

Równanie ma trzy rozwiązania:

$x \in {- 2, \frac{1}{4}, 2}$

Patrycja Olszowy

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Równania wielomianowe

Premium

9:27

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Równania wymierne

Premium

14:04

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Metoda graficzna rozwiązywania równań

Premium

8:44

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.