Dane jest równanie kwadratowe:

$x^2-2mx-m^2-2m+4=0$

---

Powyższe równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania $x_1$ i $x_2$, gdy wyróżnik jest dodatni:

$\Delta >0$

${\left(-2m\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-m^2-2m+4\right)>0$

$4m^2-4\left(-m^2-2m+4\right)>0$

$4m^2+4m^2+8m-16>0$

$8m^2+8m-16>0|:8$

$m^2+m-2>0$

Rozwiązujemy pomocniczo równanie:

$m^2+m-2=0$

${\Delta }_m=1^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=1+8=9$

$\sqrt{{\Delta }_m}=\sqrt{9}=3$

$m_1=\frac{-1-3}{2\cdot 1}=\frac{-4}{2}=-2$

$m_2=\frac{-1+3}{2\cdot 1}=\frac{2}{2}=1$

Szkicujemy parabolę z ramionami do góry, bo współczynnik przy $m^2$ jest dodatni (rysunek poniżej):

Odczytujemy rozwiązanie nierówności:

$\underline{\underline{m\in \left(-\infty ;-2\right)\cup \left(1;\infty \right)}}$

---

Zauważmy, że skoro $x_1<0$ i $x_2<0$, to:

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2<0\\ x_1{x}_2>0\end{array}$

Rozwiązujemy:

• pierwszą nierówność:

$x_1+x_2<0$

Korzystamy ze wzoru Viète'a:

$-\frac{b}{a}<0$

$-\frac{-2m}{1}<0$

$2m<0|:2$

$m<0$

$\underline{m\in \left(-\infty ;0\right)}$

• drugą nierówność:

$x_1{x}_2>0$

$\frac{c}{a}>0$

$\frac{-m^2-2m+4}{1}>0$

$-m^2-2m+4>0$

Rozwiązujemy pomocniczo równanie:

$-m^2-2m+4=0$

${\Delta }_m={\left(-2\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 4=4+16=20$

$\sqrt{{\Delta }_m}=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}$

$m_1=\frac{-\left(-2\right)-2\sqrt{5}}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{2-2\sqrt{5}}{-2}=-1+\sqrt{5}$

$m_2=\frac{-\left(-2\right)+2\sqrt{5}}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{2+2\sqrt{5}}{-2}=-1-\sqrt{5}$

Szkicujemy parabolę z ramionami do dołu, bo współczynnik przy $m^2$ jest ujemny (rysunek poniżej):

Odczytujemy rozwiązanie nierówności:

$\underline{m\in \left(-1-\sqrt{5};-1+\sqrt{5}\right)}$

Otrzymujemy, że rozwiązania równania kwadratowego są ujemne dla:

$m\in \left(-\infty ;0\right)\text{i}m\in \left(-1-\sqrt{5};-1+\sqrt{5}\right)$

Czyli:

$\underline{\underline{m\in \left(-1-\sqrt{5};0\right)}}$

---

Rozwiązania równania spełniają warunek:

$\left|x_1-x_2\right|=4\sqrt{2}$

Zatem:

${\left(x_1-x_2\right)}^2={\left(4\sqrt{2}\right)}^2$

$x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2=16\cdot 2$

$x_1^2+x_2^2-2x_1{x}_2=32$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:

$x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2={\left(x_1+x_2\right)}^2$

Stąd:

$x_1^2+x_2^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2$

Zatem:

${\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2-2x_1{x}_2=32$

${\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2=32$

Korzystamy ze wzorów Viète'a:

${\left(-\frac{b}{a}\right)}^2-4\cdot \frac{c}{a}=32$

${\left(-\frac{-2m}{1}\right)}^2-4\cdot \frac{-m^2-2m+4}{1}=32$

${\left(2m\right)}^2-4\left(-m^2-2m+4\right)=32$

$4m^2+4m^2+8m-16=32$

$8m^2+8m-16-32=0$

$8m^2+8m-48=0|:8$

$m^2+m-6=0$

${\Delta }_m=1^2-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=1+24=25$

$\sqrt{{\Delta }_m}=\sqrt{25}=5$

$m_1=\frac{-1-5}{2\cdot 1}=\frac{-6}{2}=-3$

$m_2=\frac{-1+5}{2\cdot 1}=\frac{4}{2}=2$

$\underline{\underline{m\in \left\{-3,2\right\}}}$

---

Otrzymujemy, że:

$m\in \left(-\infty ;-2\right)\cup \left(1;\infty \right)\text{i}m\in \left(-1-\sqrt{5};0\right)\text{i}m\in \left\{-3,2\right\}$

Ostatecznie:

$\boxed{m=-3}$