W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym suma...- Zadanie 13: Nowa Teraz matura. Zbiór zadań. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Rozważamy ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym suma długości jednej krawędzi podstawy i wysokości ściany bocznej jest równa $s$ . Kąt między krawędzią boczną a krawędzią podstawy ma miarę $α$ . Naszym zadaniem jest obliczenie pola powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Wykonajmy rysunek pomocniczy i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

Skorzystajmy z definicji funkcji tangens w trójkącie prostokątnym o bokach $s - a$ , $\frac{1}{2} a$ , $b$ .

$t g α = \frac{s - a}{\frac{1}{2} a}$

Z powyższego równania wyznaczmy $a$ .

$t g α = \frac{s - a}{\frac{1}{2} a} ∣ \cdot \frac{1}{2} a$

$\frac{1}{2} a t g α = s - a ∣ \cdot 2$

$a t g α = 2 s - 2 a ∣ + 2 a$

$a t g α + 2 a = 2 s$

$a (t g α + 2) = 2 s ∣ : (t g α + 2)$

$a = \frac{2 s}{t g α + 2}$

Wyznaczamy wysokość ściany bocznej.

$s - a = s - \frac{2 s}{t g α + 2} = \frac{s ( t g α + 2 )}{t g α + 2} - \frac{2 s}{t g α + 2} = \frac{s ( t g α + 2 ) - 2 s}{t g α + 2} = \frac{s t g α + 2 s - 2 s}{t g α + 2} = \frac{s t g α}{t g α + 2}$

Obliczamy pole powierzchni bocznej ostrosłupa.

$P_{b} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot (s - a) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 s}{t g α + 2} \cdot \frac{s t g α}{t g α + 2} = \frac{3 s ^{2} t g α}{( t g α + 2 ) ^{2}} = \frac{3 s ^{2} t g α}{( 2 + t g α ) ^{2}}$