a)

$x^2-x\le 12$

$x^2-x-12\le 0$

Obliczmy miejsca zerowe funkcji $f\left(x\right)=x^2-x-12$:

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-12\right)=1+48=49,\sqrt{\Delta }=\sqrt{49}=7$

$x_1=\frac{1-7}{2}=\frac{-6}{2}=-3$

$x_2=\frac{1+7}{2}=\frac{8}{2}=4$

Szkicujemy wykres funkcji $f$ i odczytujemy rozwiązanie nierówności $x^2-x-12\le 0$:

(współczynnik $a>0$, wiec ramiona paraboli są skierowane w górę, zaznaczamy miejsca zerowe funkcji)

Aby ustalić zbiór rozwiązań nierówności szukamy wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości ujemne (wykres leży poniżej osi $x$)

Odp.: Rozwiązaniem podanej nierówności jest zbiór: $x\in \left[-3,4\right]$.

---

b)

$6x^2-7x+2>0$

Obliczmy miejsca zerowe funkcji $f\left(x\right)=6x^2-7x+2$:

$\Delta ={\left(-7\right)}^2-4\cdot 6\cdot 2=49-48=1,\sqrt{\Delta }=\sqrt{1}=1$

$x_1=\frac{7-1}{2\cdot 6}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$

$x_2=\frac{7+1}{2\cdot 6}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$

Szkicujemy wykres funkcji $f$ i odczytujemy rozwiązanie nierówności $6x^2-7x+2>0$:

(współczynnik $a>0$, wiec ramiona paraboli są skierowane w górę, zaznaczamy miejsca zerowe funkcji)

Aby ustalić zbiór rozwiązań nierówności szukamy wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie (wykres leży powyżej osi $x$)

Odp.: Rozwiązaniem podanej nierówności jest zbiór: $x\in \left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{2}{3};\infty \right)$.

---

c)

$x^2-10x+23\ge 0$

Obliczmy miejsca zerowe funkcji $f\left(x\right)=x^2-10x+23$:

$\Delta ={\left(-10\right)}^2-4\cdot 1\cdot 23=100-92=8,\sqrt{\Delta }=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

$x_1=\frac{10-2\sqrt{2}}{2}=5-\sqrt{2}$

$x_2=\frac{10+2\sqrt{2}}{2}=5+\sqrt{2}$

Szkicujemy wykres funkcji $f$ i odczytujemy rozwiązanie nierówności $x^2-10x+23\ge 0$:

(współczynnik $a>0$, wiec ramiona paraboli są skierowane w górę, zaznaczamy miejsca zerowe funkcji)

Aby ustalić zbiór rozwiązań nierówności szukamy wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie (wykres leży powyżej osi $x$)

Odp.: Rozwiązaniem podanej nierówności jest zbiór: $x\in \left(-\infty ;5-\sqrt{2}\right]\cup \left[5+\sqrt{2};\infty \right)$.

---

d)

$5x^2+4>0$

Obliczmy miejsca zerowe funkcji $f\left(x\right)=5x^2+4$:

$\Delta =0-4\cdot 5\cdot 4=-80$

Wyróżnik jest mniejszy od $0$, zatem podana funkcja nie ma miejsc zerowych.

Szkicujemy wykres funkcji $f$ i odczytujemy rozwiązanie nierówności $5x^2+4>0$:

(współczynnik $a>0$, wiec ramiona paraboli są skierowane w górę, funkcja ta nie ma miejsc zerowych)

Aby ustalić zbiór rozwiązań nierówności szukamy wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie (wykres leży powyżej osi $x$)

Odp.: Rozwiązaniem podanej nierówności jest zbiór: $x\in \mathbb{R}$.

---

e)

$\left(x+1\right)\left(x-11\right)\le 0$

Miejsca zerowe funkcji $f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x-11\right)$ możemy odczytać z postaci iloczynowej tej funkcji:

$x_1=-1,x=11$

Szkicujemy wykres funkcji $f$ i odczytujemy rozwiązanie nierówności $\left(x+1\right)\left(x-11\right)\le 0$:

(współczynnik $a>0$, wiec ramiona paraboli są skierowane w górę, zaznaczamy miejsca zerowe funkcji)

Aby ustalić zbiór rozwiązań nierówności szukamy wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie (wykres leży powyżej osi $x$)

Odp.: Rozwiązaniem podanej nierówności jest zbiór: $x\in \left[-1;11\right]$.

---

f)

$-3x\left(x-5\right)<0$

Miejsca zerowe funkcji $f\left(x\right)=-3x\left(x-5\right)$ możemy odczytać z postaci iloczynowej tej funkcji.

$x_1=0,x_2=5$

Szkicujemy wykres funkcji $f$ i odczytujemy rozwiązanie nierówności $-3x\left(x-5\right)<0$:

(współczynnik $a<0$, wiec ramiona paraboli są skierowane w dół, zaznaczamy miejsca zerowe funkcji)

Aby ustalić zbiór rozwiązań nierówności szukamy wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie (wykres leży powyżej osi $x$)

Odp.: Rozwiązaniem podanej nierówności jest zbiór: $x\in \left(-\infty ;0\right)\cup \left(5;\infty \right)$.