a)

$x^2-\sqrt{2}x-4=0$

Obliczmy wyróżnik trójmianu $x^2-\sqrt{2}x-4$:

$\Delta ={\left(-\sqrt{2}\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-4\right)=2+16=18,\sqrt{\Delta }=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$

Wyznaczmy rozwiązania tego równania:

$x_1=\frac{\sqrt{2}-3\sqrt{2}}{2}=\frac{-2\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}$

$x_2=\frac{\sqrt{2}+3\sqrt{2}}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$

Odp.: Rozwiązania tego równania to: $x=-\sqrt{2}$, $x=2\sqrt{2}$.

---

b)

$x^2-14x+49=0$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy zapiszmy wyrażenie po lewej stronie tego równania w postaci kwadratu liczby rzeczywistej:

${\left(x-7\right)}^2=0$

Kwadrat liczby rzeczywistej jest równy $0$ wtedy i tylko wtedy, gdy ta liczba jest równa $0$, zatem:

$x-7=0$

$x=7$

Odp.: Rozwiązaniem tego równania jest liczba $x=7$.

---

c)

$-2x^2-6x=10$

Uporządkujmy podane równanie:

$-2x^2-6x-10=0|:(-2)$

$x^2+3x+5=0$

Obliczmy wyróżnik trójmianu $x^2+3x+5$:

$\Delta =3^2-4\cdot 1\cdot 5=9-20=-11<0$ 

Wyróżnik danego trójmianu jest liczbą mniejszą od $0$, zatem podane równanie jest sprzeczne.

Odp.: Podane równanie nie ma rozwiązania.

---

d)

$6x^2-18x=0$

Zapiszmy podane równanie w postaci iloczynu:

$6x\left(x-3\right)=0$

Iloczyn dwóch liczb jest równy $0$ wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedna z tych liczb jest równa $0$, zatem:

$6x=0\text{lub}x-3=0$

$x=0\text{lub}x=3$

Odp.: Rozwiązania tego równania to: $x=0$, $x=3$.

---

e)

$x^2-81=0$

Przekształćmy lewą stronę podanego równania korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów:

$x^2-9^2=0$

Stąd:

$\left(x-9\right)\left(x+9\right)=0$

Iloczyn dwóch liczb jest równy $0$ wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedna z tych liczb jest równa $0$, zatem:

$x-9=0\text{lub}x+9=0$

$x=9\text{lub}x=-9$

Odp.: Rozwiązania tego równania to: $x=-9$, $x=9$.

---

f)

$\left(3x-3\right)\left(6x-9\right)=0$

Iloczyn dwóch liczb jest równy $0$ wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedna z tych liczb jest równa $0$, zatem:

$3x-3=0\text{lub}6x-9=0$

$3x=3\text{lub}6x=9$

$x=1\text{lub}x=\frac{9}{6}$

$x=1\text{lub}x=\frac{3}{2}$

Odp.: Rozwiązania tego równania to: $x=1$, $x=\frac{3}{2}$.